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1、第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量,定义1.设A为n阶方阵，为数,X为n维非零列向量.若满足：,则称 为A的特征值，X为A的属于 的特征向量.,如何求A的特征值和特征向量？,若齐次方程（2）有非零解X，则系数行列式|E-A|,（1）,（1）,（2）,=0,叫做A的特征多项式.,求特征值、特征向量方法：,1.求|E-A|=0的根：,2.求,的非零解X=,即为A的特征值,即为A的特征向量.,例,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续1),定理1：设1,2,n为n阶方阵A的特征值，则,定义2.若对n阶方阵A、B,存在可逆阵P,使得 P-1AP=B.则称A与B相似.记作AB.,
2、1）反身性：AA；,2）对称性：若 AB,则BA；,3）传递性：若 AB,BC,则AC.,性质：,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续2),即A有特征值:1,2,n,定理2：相似矩阵特征多项式相同.,证：设P-1AP=B.则,如,当,则,第五章 特征值、特征向量 2.矩阵可对角化的条件,定理3.n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.,P-1AP=,p1,p2,.,pn线性无关.,则 AP=P,证：必要性.设存在可逆阵P,使,设P=p1 p2.pn,|P|0,由式得：Api=ipi,i=1,2,.,n,AP=Ap1 p2.pn=Ap1 Ap2.Apn,p1,
3、p2,.,pn为A的n个线性无关特征向量.,充分性.设A有n个线性无关的特征向量：p1,p2,.,pn，则有,i=1,2,.,n,令P=p1 p2.pn,则AP=Ap1 Ap2.Apn,即A与对角阵相似.,P=1p1 2p2.npn,Api=ipi,=1p1 2p2.npn,=P,P-1AP=,第五章 特征值、特征向量 2.矩阵可对角化的条件(续1),定理4.n阶方阵A属于不同特征值的特征向量线性无关.,(反之未必),也线性无关.,推论：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似.,则A的以下t1+t2+.+tm个特征向量：,属于i有ti个线性无关的特征向量：,i=1,2,.,m.,定理
4、5.设1,2,m为n阶方阵A的互不相同的特征值.,推论：设1,2,m为n阶方阵A的互不相同的特征值.,属于i恰有si个线性无关的特征向量，,证:n阶方阵A有s1+s2+.+sm=n个线性无关的特征向量.故得证.,则A与对角阵相似.,si重特征值,第五章 特征值、特征向量 3.实对称矩阵的对角化,设A为n阶实对称矩阵：A=aijnn,aijR，AT=A.,则A的特征值、特征向量有以下性质：,(3)设为A的k重特征值，则R(E-A)=n-k,从而,(1)A的特征值全为实数.,齐次方程(E-A)X=0的基础解系有k个线性无关的解向量，,(2)A的属于不同特征值的特征向量正交.,将其正交标准化,可得属于的k个两两正交的单位特征向量.,第五章 特征值、特征向量 3.实对称矩阵的对角化(续1),证:设1,2,m为n阶实对称矩阵A的互不相同特征值.,定理6.设A为实对称阵,则存在正交阵Q,使得Q-1AQ为对角阵.,它们全为实数.,s1+s2+.+sm=n，,A有n个两两正交的单位特征向量:q1,q2,.,qn，,Q=q1 q2.qn为正交阵,且Q-1AQ=,属于i有si个两两正交的单位特征向量,i=1,2,m,
