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1、湍流大涡模拟,国防科技大学,李 桦,大涡数值模拟的基本思想是直接计算大尺度脉动，而只对小尺度脉动做模式。所以，实现大涡数值模拟的第一步是把小尺度脉动过滤掉。本节首先介绍过滤方法，然后再导出大尺度运动的控制方程，并介绍小尺度脉动项的封闭模型。,大涡模拟的基本思想,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,一、脉动的过滤,三、亚格子模型的检验,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,五、关于大涡模拟的几个问题,湍流大涡数值模拟,内容：,一、脉动的过滤,一、脉动的过滤,湍流速度场,一、脉动的过滤,常用的均匀过滤器,谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器,若 k 为湍流脉动波数，物理空间的湍流脉动在谱空间
2、的投影为，则谱空间过滤后的脉动可表示为：,为各向同性低通滤波,其中 是截断函数，是截断波数。,一维低通滤波器,谱空间的过滤就是令高波数的脉动等于零，相当于对脉动信号做低通滤波。,一、脉动的过滤,常用的均匀过滤器,谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器,在尺度 l 上进行的滤波函数记作，则任意湍流脉动 的过滤为,盒式过滤器,对于复杂流动不可能采用谱空间低通滤波，物理空间的低通过滤可以用积分方法实现。,物理空间的滤波器必须满足正则条件,是过滤的空间体积。,一、脉动的过滤,常用的均匀过滤器,谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器,高斯过滤器,将过滤函数取作高斯函数。,只有高斯滤波
3、器在Fourier积分变换时保持高斯函数形式。,应当注意：,物理空间的盒式过滤，在 的高波数区有微小的泄漏(Gibbs效应)。,谱空间的盒式过滤器变换到物理空间时并不是盒式过滤器，而在 的盒子以外，过滤函数仍有微小的震荡。,一、脉动的过滤,脉动速度的分解,经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动，和剩余脉动 之和。,低通脉动将由大涡数值模拟方法解出，因此称为可解尺度脉动；剩余脉动称为不可解尺度脉动或亚格子尺度脉动。,需要注意一般情况下，般情况下，物理空间的过滤运算不存在平均和求导的可交换性。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,大涡模拟的控制方程,将N-S方程
4、作过滤，得到如下的方程：,令,，称,为亚格子应力,则N-S方程化为,右端亚格子应力项不封闭，要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,Smargorinsky涡粘模式,亚格子应力模型,尺度相似模式和混合模式,动力模式,谱空间涡粘模式,结构函数模式,理性亚格子模式(CZZS模式）,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,亚格子应力模型Smargorinsky涡粘模式(1963),假定：各向同性滤波器过滤掉的小尺度脉动局部平衡 该模式相当于混合长度形式的涡粘模式。,式中是过滤尺度，,为亚格子涡粘系数,为Smagorins
5、ky常数,涡粘型亚格子模式是耗散型的，在各向同性滤波的情况下，它满足模式方程的约束条件。Smagorinsky模式和粘性流体运动的计算程序有很好的适应性，它是最早应用于大气和工程中大涡数值模拟的亚格子应力模式。,该模式的主要缺点是耗散过大，尤其在近壁区和层流到湍流的过渡阶段，需要进行修正。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,亚格子应力模型尺度相似模式和混合模式（1980）,假定：从大尺度脉动到小尺度脉动的动量输运主要由可解尺度脉动中的最小尺度脉动来产生，且过滤后可解尺度脉动的最小尺度脉动速度和过滤掉的小尺度脉动速度相似。,为模式常数,直接数值模拟数据进行过滤检验，可以证实式
6、该模式结果的统计相关性很好。但是，实际算例发现该模式的湍动能耗散太小，往往导致计算发散。于是在实用上常采用一种混合模式，即将尺度相似模式和Smagorinsky模式叠加：,这种模式既有和实际亚格子应力的良好相关性，又有足够的湍动能耗散。,尺度相似模式,混合模式,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,亚格子应力模型动力模式,动力模式其本身并不提出新的模式，它需要有一个基准模式，然后用动态的方法确定基准模式中的系数。,动力模式方法需要对湍流场进行多次过滤,采用Germano(1991)假定：,该式的物理意义是二次过滤后的亚格子应力 等于粗、细网格上的亚格子应力差。,动力模式需要进行
7、统计平均。理论上，应当进行系综平均；但是非常花费计算时间，很不现实。对于一般复杂湍流，没有统计均匀的方向，难以采用动力模式。Meneveau等(1996，2000)提出沿质点轨迹平均的动态确定模式系数的方法，增加计算量不多，是一种较好方法。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,亚格子应力模型谱空间涡粘模式,其基础是均匀湍流场中的脉动动量输运公式。,谱涡粘模式有较好的理论基础，但谱涡粘模型只能用于均匀湍流。如果可以将涡粘模式的构造方法推广到物理空间，那么模型将有较好的物理基础和应用性。,将以上公式在谱空间作过滤，可以获得谱空间的大涡模拟方程。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
8、,常用的亚格子模型,亚格子应力模型结构函数模式,在局部各向同性湍流中，结构函数和湍流脉动的能谱间有确定的关系，以此为桥梁，将谱空间涡粘模式变换到物理空间，从而构成结构函数表示的亚格子模型。,2阶结构函数,对应结构函数涡粘系数,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,亚格子应力模型理性亚格子模式(CZZS模式，2004),在可解尺度湍流是局部各向同性和局部均匀的条件下，可以导出可解尺度湍流的Kohnogorov方程，进而导出亚格子涡粘的公式，称它为理性亚格子模型。,理性亚格子模式,理性亚格子模式的显著特点是没有模式常数。其计算量和一般涡粘模式相当，比动力模式少得多。有人证明，理性亚
9、格子模式可以推广到剪切湍流，数值实验结果证明，在槽道湍流中理性亚格子模型的预测结果优于Smagorinsky模式和动力模式。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,标量湍流输运的亚格子模型,过滤后的标量输运的大涡数值模拟方程,亚格子标量输运,亚格子标量输运，是大涡数值模拟需要封闭的量。亚格子标量运模划也可以分成三类：涡扩散型、尺度相似型 和 理性模型。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,标量湍流输运的亚格子模型涡扩散型,和亚格子动量输运的涡粘模型相对应，认为标量亚格子输运和亚格子动量输运的机制相同。,式中 称为湍涡扩散系数。,当亚格子动量输运采用涡粘模式，如
10、Smagorinsky模式、谱涡粘模式或结构函数涡粘模式时，亚格子标量输运可采用湍涡扩散模式。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,标量湍流输运的亚格子模型尺度相似型模式,可以用尺度相似的思想，建立亚格子标量输运封闭式,式中CL1，或用动力模型方法确定。,二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力,常用的亚格子模型,标量湍流输运的亚格子模型理性亚格子涡扩散模式,利用标量结构函数方程，可以导出理性亚格子涡扩散模式,标量湍流的亚格子通量,三、亚格子模型的检验,先验法(Piomelli等，1988)将直接数值模拟的结果进行过滤来计算亚格子应力，将其与亚格子模型公式进行对比验证。后验法 将L
11、ES算例的结果和相同参数的DNS或实验结果直接进行比较来考察亚格子模型的正确性。,三、亚格子模型的检验,亚格子模型的检验,两种检验方法,比较时通过流场的相关系数来判断正确程度。,三、亚格子模型的检验,先验法比较结果直槽湍流,均匀各项同性湍流场中亚格子应力分布（某时刻）,(a)直接数值模拟的过滤结果(b)Smagorinsky模式,三、亚格子模型的检验,先验法,Smagorinsky模式先验检验结果的相关系数很低，这表明Smagorinsky模型的动量输运(是张量)和真实情况相差很大，但是其耗散和实际相差不大。,先验法比较结果直槽湍流,尺度相似模型的亚格子湍动能耗散率则远小于实际的亚格子耗散。,
12、混合模型既有良好的亚格子动量输运(来自尺度相似模型部分)，又有足够的湍动能耗散(来白Smagorinsky模型)。因此往往能够获得较好的结果。,新的理性亚格子模式具有正确的湍动能输运性质，因此其先验结果很好。,三、亚格子模型的检验,后验法是检验亚格子模型适用性的最有说服力的依据,后验比较结果湍流混合层,Vreman等(1997)一个比较完整的亚格子模型的考核结果，考核的标准是同一算例的DNS结果,三、亚格子模型的检验,理性亚格子涡粘模式的算例结果(Cui等，2004),后验比较结果槽道湍流,平均速度分布 雷诺应力分布 湍流强度分布,三、亚格子模型的检验,理性亚格子涡粘模式的算例结果(Cui等，
13、2004),后验比较结果槽道湍流,从平均速度分布，可看出理性亚格子模型的预测结果优于Smargorinsky模型和动力模型。,对于雷诺应力分布，Smargorinsky模型的预测偏离DNS结果很多；理性模型在近壁区优于动力模式，而中心区动力模式较理性模型更接近DNS结果。在近壁区新模型的亚格子雷诺应力分布符合湍流的近壁渐近特性。,三、亚格子模型的检验,理性亚格子涡扩散模式的算例结果,后验比较结果槽道湍流,平均涡量分布（Re=700）标量脉动强度分布 平均标量流向通量分布（Re=7000）,理性亚格子模式的预测结果都优干Smargorinsky模式和动力模式的结果。,四、复杂流动的大涡数值模拟算
14、例,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,一般认为有代表性的湍流流动：,湍流复杂程度,无分离的二维湍流边界层、直槽和圆管湍流、远场平面射流和尾流等。,简单湍流:,准平行的平衡剪切流动,复杂湍流:,简单湍流场中附加剪切或旋转,三维湍流边界层、大曲率的湍流边界层和射流、旋转系统的剪切湍流以及钝体分离湍流等。,横向喷流湍流，Kleisery，2006,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例1 平面扩压器,平面扩压器的几何外型和网格,条件,雷诺数,入口截面的平均速度,，入口半高,网格（35264128）,展向采用均匀网格；流向采用局部加密网格,展向采用傅里叶展开，流向和垂向平面上应用有限体积法离散。,标准Sm
15、agorinsky模型为基准的动力模式。,亚格子模型,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例1 平面扩压器,计算结果,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例1 平面扩压器,计算结果,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例1 平面扩压器,计算结果,平均速度分布和实验结果符合良好。数值计算的分离点在，实验结果是，两者略有差别。计算的分离泡长度等于52，实验结果是47。,LES计算的峰值大于实验结果l020。雷诺应力分市的总体情况符合良好，误差在1020。所有统计量在扩压器出口有较大误差。,结果还表明，LES能够捕捉流动特征，但是在计算的准确度上还有待改善。特别是扩压器二次流的影响。展向的周期性条件是否能
16、准确计算实际扩压器的二次流值得研究。,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例2 绕圆柱流动,几何外型和网格,条件,流动雷诺数,O型网格,圆柱体径向的计算域长度等于60倍的圆柱直径，(Kravchenko和Moin，2000),分别采用Smagorinsky亚格子模型和动力亚格子模型。,亚格子模型,方法,一般有限体积法，对流项常用迎风格式，2阶守恒划中心差分格式或HSpline迦辽金方法,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例2 绕圆柱流动,网格影响结果,当雷诺数等于3900时，通过三组稀密程度不同网格的计算比较，考察计算结果对网格的依赖性。稀网格算例的网格点总数约50万，中等密网格的网格点总数约1
17、30万，密网格的网格点总数约240万。三种网格的计算结果几乎一样，说明中等密网格的结果可以采用。,(Kravchenko和Moin，2000),数值格式影响结果,低阶迎风格式的数值耗散过大，不能获得正确的非定常结果，应当采用高精度格式。,(Mi.al和Moin，1997)(Kravchenko等，1999),四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例2 绕圆柱流动,亚格子影响结果,结果表明，圆柱绕流尾迹中的平均流向速度略有差别；流向脉动强度差别较大。,(Kravchcnko和Moin2000),四、复杂流动的大涡数值模拟算例,算例2 绕圆柱流动,展向分辨率影响结果,结果表明，展向长度偏短或展向分辨率
18、不够，计算结果偏差较大；适当的展向长度和分辨率(算例3和算例5)可以获得和实验相符的结果。,(Kravchcnko和Moin2000),展向长度和分辨率对亚临界圆柱绕流结果的影响,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,近年国外的LES数值模拟结果,球绕流，Laurent Georges，2006,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,其它国外LES数值模拟结果,横向喷流湍流，Kleisery，2006,四、复杂流动的大涡数值模拟算例,其它国外LES数值模拟结果,喷气控制翼湍流，Kleisery，2006,五、关于大涡模拟的几个问题,五、关于大涡模拟的几个问题,亚格子应力的量级估计,利用物理空间的盒式过滤器
19、可以证明亚格子应力有以下近似估计,上式亚说明，格子应力的估计和过滤尺度的平方成正比，这对于大涡数值模拟的数值格式提出了严格要求。通常大涡数值模拟计算中，过滤尺度等于网格尺度，或者过滤尺度大于网格尺度，但是属于同一量级。如果计算格式的精度为1阶，则计算误差和亚格子应力属于同一量级，不可能获得正确的大涡数值模拟结果。所以，大涡数值模拟要求数值格式的精度高于2阶。,五、关于大涡模拟的几个问题,大涡数值模拟的数值误差,大涡数值模拟的误差来自数值方法和亚格子模型两个方面,大涡数值模拟的目的是用较少的网格实现多尺度不规则湍流场的计算，但是，大的网格尺度会产生过大的截断误差，以至于超过亚格子应力项，不能获得
20、准确的大涡数值模拟。,既要采用大的网格长度，又要减小截断误差，高精度紧致格式是一种理想的计算方法。,对于简单湍流，可以采用谱方法数，这时应用32规则可以有效地消除混淆误差。对于复杂湍流，必须在物理空间实施数值计算，过滤尺度必须大于网格尺度，建议过滤长度至少应为网格长度的2倍。,消除混淆误差的措施,五、关于大涡模拟的几个问题,大涡数值模拟统计量的修正,若亚格子模型准确的，且数值计算误差满足精度要求，大涡数值模拟的统计量和真实湍流的统计量之间还存在偏差。准确计算统计量应当把亚格子脉动产生的统计量加以修正。,(1)雷诺切应力的修正,(2)湍动能的修正,五、关于大涡模拟的几个问题,非均匀网格中过滤过程
21、和微分运算的可交换性,非均匀网格中复杂湍流数值模拟中，过滤函数的空间导数不等于函数空间导数的过滤值，必须研究怎样减小或消除交换运算带来的误差。,交换误差对复杂湍流的大涡模拟十分重要，如果不加控制，交换误差可能达到O(n)，它和亚格子应力同一量级，使得计算结果不真实。具体可采用过滤矩的控制方法（Vasilyev(1998)和Marsden(1999)）对误差进行控制。,五、关于大涡模拟的几个问题,大涡数值模拟的近壁模型,壁面附近的湍流是各向异件的也不存在局部各向同性的状态；特别是垂直壁面方向，脉动尺度很小，很难区分“大涡”和“小涡”。要实现大涡数值模拟必须建立近壁模型。现有以下几种大涡数值模拟壁模型。,1平衡层模型,2两层模型,基本思想是假定在近壁区存在平均速度具有对数律的湍流平衡层。,Balaras，Cabot和Moin(2000)先后用抛物化的薄层作为LES的近壁模型。贴近壁面的近壁层用抛物化的雷诺平均方程，近壁层以外用大涡模拟方程。该方法既可分辨近壁的湍流脉动又大大节省网格数。,大涡数值模拟的近壁模型仍然是需要进一步研究的问题。,湍流大涡数值模拟,国防科技大学 2023/1/10,李 桦,湍流8,
