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1、8.2直角坐标系下计算二重积分的计算,1在矩形区域上的二重积分二重积分化为两次定积分来计算,二重积分存在则与分法无关。在直角坐标系中，采用平行于ox轴和oy轴的分割网，=dxdy,几何意义：二重积分等于立体体积,用横截面来计算立体体积,应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积,o,x,x,a,b,A(x),V,以底面为一矩形a,b;c,d的立体为例，求其体积（应用上列公式）,如图所示，若能求出截面面积，则立体体积问题 就归结为运用上述公式。,o,a,x0,b,x,A,B,C,D,A(x0),c,d,A,B,C,D,y,z,设以平面x=x0垂直于x轴、平行于yoz平
2、面的平面截立体，得一曲边梯形截口ABCD。要求截口的面积A(x0),我们将截口ABCD投影到yoz坐标平面上，得到与之完全相同的曲边梯形ABCD，从而 A(x0)=SABCD=SABCD然而曲边梯形ABCD的曲边DC的方程为 z=f(x0,y)(cyd)由于定积分几何意义，因而 A(x0)=SABCD=考虑到x0的任意性，对于xa，b均有 A(x)=,代入上列中立体体积公式，得到,最后，有 由此说明，以底面是一矩形的立体体积的计算为例，可导出结论：直角坐标系中，二重积分的计算可化为 两个一重积分（二次积分）来计算。,例1 求,解：,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,二 X 型区域上
3、的二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,例2 计算积分,D：由 y=x，y=5x，x=1 所围成区域；由 y=x2 和 y2=x 所围成区域,解：,绘出区域D的图形：确定积分限：x:0,1 y:x,5x 计算积分：,o,1,x,y,y=x,y=5x,解：,绘出区域D的图形：求出两曲线的交点：解方程组 得实数解 故交点为（0，0）、（1，1）,y,x,x,y,y=x2,y2=x,确定积分限：由于x由0变到1时，y由下方曲线 y=x2变到上方曲线 y=，所以 第一次积分的积分限为：下限 x2，上限；第二次积分的积分限为：下限 0，上限 1,（解续）,计算积分：,如果
4、积分区域为：,Y型,三 Y 型区域上的二重积分,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,二重积分计算中的问题再讨论,二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计算；二重积分化为两次定积分的计算方法中，最重要的是两个问题：如何选择积分次序？如何确定积分限如何选择积分次序 正确画出区域D的图形是选择积分次序的关键，即使是最简单的区域D也要求首先画出图形。对复杂区域分块 二重积分化为两次定积分的计算方法，要求区 域D必须满足条件,
5、选择积分次序 选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简，甚至关系到该积分是否能计算出结果。,如与（不能用初等函数表示！）,1,3,o,2,x,y,y=x-1,D,如何确定积分限 二重积分化成的二次积分，其上限一定不能小于 下限。,第一次积分的积分限，是由第二次积分的积分变 元所表示的函数；第二次积分的积分限为常数。先对y积分（积分变元是y）：下限为y=1(x)（D的下方曲线）；上限为y=2(x)（D的上方曲线）后对x积分（积分变元是x）：下限为D在x轴上投影的左端点的横坐标a；上限为D在x轴上投影的右端点的横坐标b,。,先对x积分（积分变元是x）：下限为x=1(y)（D的左方曲线）；上限为x=2(y)（D的右方曲线）后对y积分（积分变元是y）：下限为D在y轴上投影的下端点的横坐标c；上限为D在x轴上投影的上端点的横坐标d,o,x,c,d,y,D,x=1(y),x=2(y),o,x,y,b,a,y=2(x),y=1(x),D,例3 将 按两种顺序化为两次积分,解：先y后x 先x后y,y2=8x,x2=y,x,y,解,解,积分区域如图,四 改变积分次序,解,积分区域如图,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,五、小结,Y型,X型,矩形,
