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1、 引言,几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和费马建立的平面解析几何.,解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.,解析几何为微积分的出现创造了条件.,几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具.,1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何.,1.向量的概念及其表示,1).向量：,2).向量的长度或模：,3).自由向量：,4).相等向量：,5).负向量：,6).零向量：,既有大小又有方向的量,只考虑向量的大小和方向不计较起点位置,长度相等且方向相同,长度相等且方向相反,方向相同或相反,8).平行(共线)向量：,
2、7).单位向量：,长度为1,一.空间向量的线性运算,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,2.向量的加法,1).平行四边形法则,2).三角形法则,3).运算性质:,结合律,交换律,首尾相接,多边形法则,向量的减法,运算性质:,三角不等式,（减数指向被减数）,（后项减去前项）,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3.向量与数量的乘法（数乘）,1).定义：m,注:m=m=0 或=.,2).运算性质,(1)=.,单位向量：长度为1的向量,模：,方向：,非零向量的单位化：,分配律,结合律,向量的伸缩,/,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,例1.设P,Q分别是A
3、BC的BC,AC边的中点,AP与BQ交于点M.证明:,A,B,C,M,P,Q,往证点S与点T重合,即,证明：可知,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1.向量的概念及其表示：方向和大小,2.向量的加法,向量的减法,平行四边形、三角形、多边形法则,3.数乘,向量的伸缩,向量的单位化：,一.空间向量的线性运算,3.1-2 空间向量及空间坐标系,二.共线、共面向量的判定,三.空间坐标系,四.空间向量线性运算的坐标表示,五.空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,二.共线、共面向量的判定,1.共线、共面向量的定义,点O,A1,A2,As在同一直线上.,1,2,
4、s共线:,点O,A1,A2,As在同一平面上.,1,2,s共面:,二.共线、共面向量的判定,2.共线的判定,定理3.1 设向量1,向量2与1共线 存在唯一的实数k使得 2=k1.,推论3.1 向量1,2共线 存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=.,注：设向量1,向量2与1共线 2可由1唯一的线性表示.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1,2共线 存在唯一的实数k使得 2=k1,当1=,2 时,1,2共线但2 k1,?,k0？,不一定,二.共线、共面向量的判定,2.共线的判定,定理3.1 设向量1,向量2与1共线 存在唯一的实数k使得 2=k1.2可由1唯一的线性表
5、示.,推论3.1 向量1,2共线 存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=.存在一个向量可由另一个向量线性表示.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,注：向量1,2不共线 k11+k22=只有零解，即 k1=k2=0.,任何一个向量都不能由另一个向量线性表示.,二.共线、共面向量的判定,推论3.2 向量1,2,3共面 存在不全为零 的实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k33=.,注：若向量1,2 不平行,则向量3与1,2共面 3可由1,2 唯一的线性表示.,1,3,2,3.共面的判定,定理3.2 若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k1
6、,k2),使得,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3=k11+k22.,k11,k22,定理3.2 若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k,l),使得3=k1+l2.3可由 1,2唯一的线性表示.,推论3.2 向量1,2,3共面 存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k33=.存在一个向量可由其余向量线性表示.,注：向量1,2,3不共面 k11+k22+k33=只有零解，即k1=k2=k3=0,推论3.2 向量1,2,3共面,1,2,3 线性无关,3.共面的判定,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1,2,3 线性相关
7、.,任何一个向量都不能由其余向量线性表示.,(但不知是哪个向量),例2.,3.1-2空间向量及空间坐标系,d,二.共线、共面向量的判定,2与1()共线 唯一实数k使得2=k1 2可由1唯一线性表示 2与1 共线 不全为零的k1,k2使得k1 1+k22=2与1 线性相关,1,2不平行,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示,重点和难点,在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.,在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.,在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示.,1.线性表示,(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零
8、向量唯一的线性表示.,(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理3.3 在空间中取定三个不共面的1,2,3,则 对空间中任一向量 都存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.,实数k1,k2,k3,使得=k11+k22+k33.,1,2不平行,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,(3)在空间上任意一个向量都可以由空间上三个 不共面向量唯一的线性表示.,定理3.3 在空间中取定三个不共面的1,2,3,则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.
9、,唯一性：,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,右(左)手仿射坐标系.,=x1+y2+z3=(x,y,z),1.仿射坐标系O;1,2,3,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量);,三.空间坐标系,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,2.空间直角坐标系,坐标分解式:,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则k1+k2,=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1),=(x2x1,y2y1,z2z1).,=
10、(k1x1+k2x2,k1y1+k2y2,k1z1+k2z2).,后项减前项,四.空间向量线性运算的坐标表示,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1.两个非零向量之间的夹角,2.投影的概念,五.空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1.两个非零向量之间的夹角,2.投影的概念,(注意投影是一个有正负的数),五.空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,投影的性质,投影的应用,u,与,共面唯一实数k,l使得,=k+l,=+,当,？,何时？,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空
11、间坐标系,C,C,C,C,C,且|=|=1,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.,称为数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3.两个向量的数量积(点积、内积),1).物理背景,2).两个非零向量之间的夹角,3).数量积的定义,注:=0=或=或(,),第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,点不能省略,4).内积的性质,(1)正定性:2=|20且2=0=,(2)对称性:=,(3)(m)=m()=(m),(4)分配律：(+)=+,(5)线性性：(k+l)=k+l,(6)Schw
12、artz不等式：|,(7)三角不等式:|-|+|,(8)|+|2+|-|2=2(|2+|2),注:数量积不满足消去律,即=,=.,应为(-)=0(-).,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,(2)设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则,5).直角坐标系 下向量内积的计算,例5.已知|=3,|=6,(,)=/3,(3)(+2),求.,解：(3)(+2)=0,3 2+(6)2 2=0,39+(6)|cos/3 236=0,8181=0=1.,=2=x12+y12+z12,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,=x1x2+y1y2+z1z2,=T,6).模、夹
13、角、距离公式,(2)设非零向量=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)之间的夹角为,则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为,=x1x2+y1y2+z1z2,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,7).方向角、方向余弦和方向数,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角;,方向余弦:cos,cos,cos,方向角的余弦称为此向量的方向余弦.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,(3)方向数c1,c2,c3:,注2：cos2+cos2+cos2=1.,(2)向量 的方向余弦,注1：方向余
14、弦唯一，但方向数不唯一.,与方向余弦成比例的一组数,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,例6.向量1=(1,2,3),2=(1,0,0),3=(1,1,3),=1+2+3,求|,的方向余弦、方向数,=(,3).,解：=1+2+3=(3,3,6),的方向数:3,3,6;或者1,1,2;通式为k,k,2k(k0),第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,设O为一根杠杆L的支点，力 作用于杠杆上P点，力 与 的夹角为，力 对支点O的力矩是向量，则力矩的模为,向量积的物理意义,力矩=力力臂,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,一.两个向量的向量积(叉积,外积),1.
15、物理背景:,2.向量积的定义:,|=|sin,其中=(,).,3.模的几何意义：,力矩=力力臂,是一个向量.,当,，且,不平行时，,正弦值等于边长为1菱形的面积.,4.外积的性质,(3)反对称性:=,(1)=或=或(,/),/(规定/),|=|sin,(4)(m)=m()=(m),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,4.外积的性质,(3)反对称性:=,(4)(m)=m()=(m),(5)(+)=+,(6)()2+()2=2 2,例7.已知|=3,|=11,且=30.求|.,(1)=,/,|=|sin,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,5.直角系 下外积的坐标计算,(2
16、)设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则,(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),(1),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,=i+j+k,注:=(a1,a2,a3)与=(b1,b2,b3)共线=,=,注:为任意值,不共线,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例8.求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,A,分析:P到AB的距离可看作底边AB上的高.,解1：,解2：,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例9.已知向量=(1,2,1),=(1,1,1),且=8,其中=(1,2,1),
17、求.,解法1：,设=(x,y,z),由题设知，,解法2：,解得=(x,y,z)=(1,-2,3).,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例10.已知向量,有共同起点但不共面,求以它们为棱的平行六面体的体积V.,V=(),S=|,h=(),解：,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,二.三个向量的混合积,1.,的混合积:(,)=(),2.几何意义,设,为不共面的三个向量,将它们平 移到同一起点.若它们符合右手法则,则与()在与 所成平面的同侧,于是,V=(),若与()在与 所成平面的两侧,则,V=(),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,二.三个向量的混合积,1
18、.,的混合积:(,)=(),2.几何意义,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,共面()=0,(),注:轮换对称性,()=()=(),|()|=以,为相对棱的平行六面体的体积,=以,为相对棱的四面体体积的6倍,=i+j+k,设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),4.直角系下混合积的坐标计算,()=A31 c1+A32 c2+A33 c3,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,=,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,注:对于向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和=(c1,c2,c3),采用行列式的记号,我们有,
19、()=,=,三个向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的充分必要条件是,()=0,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,3.性质（即行列式的性质）,(1)(,)=0,(2)(,)=(,),(3)(1+2,)=(1,)+(2,),(4)(m,)=m(,)=(,m,)=(,m),(5)(,+m)=(,),其中m为一实数.,注:结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质.如:(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(+m,)=(,),等等.,=(,)=(,),=(,)=(,),轮换对称性,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例1
20、1.试证(2,+3,+)=6(,).,证明：,(2,+3,+)=(2,3,+),=6(,+),=6(,),=6(,),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例12.由定理3.3可知,在空间中任取三个不共面 的,后,空间中任一向量 都可以由,唯一的线性表示,即存在唯一的实数 组(x,y,z),使得=x+y+z.下面我们去求x,y,z的值.,(,)=(x+y+z,),=(x,)+(y,)+(z,),=x(,).,不共面，则(,)0.,解：,Cramer法则,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,向量的数量积、向量积和混合积,|=|sin=S,正定性,线性性,Schwartz不等
21、式,反对称性=,=0,=/,=a1b1+a2b2+a3b3,(,)=()=V(平行六面体),轮换对称性,行列式的性质,(,)=0 共面,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,P,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,2.一般方程,Ax+By+Cz+D=0,平面方程是三元一次方程,而三元一次方程必然表示一个平面.,P0(x0,y0,z0),P(x,y,z),其中D=Ax0 By0 Cz0,第三章 几何空间,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.特殊位置的平面方程,(1)过原点的平面:Ax+By+Cz=0,(2)平行于x轴的平面:
22、,平行于y轴的平面:Ax+Cz+D=0,平行于z轴的平面:Ax+By+D=0,(3)平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面:Ax+D=0,平行于xoz面的平面:By+D=0,Ax+By+Cz+D=0,若A0，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0)=0,P0(-D/A,0,0),By+Cz+D=0,Cz+D=0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例13.求通过点P0(1,2,3),且,注:确定A,B,C,D的值;,作图时应标注一些特殊点,如与坐标轴 或坐标平面的交点.,(1)通过x轴;,(2)平行于yoz平面,的平面方程,并且分别作出它们的图形.,By+Cz=0,2B+3
23、C=0,3y-2z=0,Ax+D=0,A+D=0,x 1=0,4.三点式方程,经过不共线三点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)的平面,的方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,4.三点式方程,5.截距式方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,二.空间直线的方程,1.参数方程,P,x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.,2.标准(对称)方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,二.空间直线的方程,1.参数方程,P,x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.,2.标准(对称)方程,zR,第三章 几何空间,3.4
24、空间的平面和直线,3.一般方程,A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,4.两点式方程,过两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直线L的方程为,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例14.求过点P(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,=(9,5,1).,=(4,8,4).,所求直线L的方程为,P,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例14.求过点P(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,x 2y+z+3=0,2x 3y 3z 9=0,(9,5,1)
25、.,9(x+7)+5(y6)+(z5)=0,即:9x+5y+z+28=0.,过点P(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7)+(y6)+(z5)=0,即:x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,0,2,1,P,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,三平面的相对位置,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,3:A3x+B3y+C3z+D3=0,r(A,b)=r(A)+1 无解 平行或“”或“”,r(A,b)=r(A)=3 交于一点,r(A,b)=r(A)=2 3 交于一线,r(A,b)=r(A)=1 3 三平面重合,第三章 几何空间,3.4 空间
26、的平面和直线,1:x+y+bz=3,2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7,3:(1a)y+(2b1)z=0,b=0时,r2=r1+1,无公共点,a1且b 0时,r2=r1=3,交于一点,例15.讨论三个平面的相互位置,其中a,b为参数.,解：,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,a1且b0时,r2=r1=3,交于一点,b=0时,r2=r1+1,无公共点,当 a=1,b1/2时,r2=r1+1,无公共点,1 1 b 3 0 0 1 20 0 0 12b,r3br2,当a=1,b=1/2时,r2=r1=2 3 交于一线,1 1 0 2 0 0 1 2,第三章 几何空间,3.4 空间的平
27、面和直线,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,(1)两条直线的夹角,(2)两个平面的夹角,(3)直线与平面的夹角,规定夹角的范围0/2.,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例16.求直线L:,与平面:x+2y+z+1=0之间的夹角.,解：,法2：,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,2.距离,(1)点P到直线L的距离:,(2)两平行直线之间的距离:,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,2.距离,(3)点P(x1,y1,z1)到平面:Ax+By+Cz+D=0的距离,(4)两平行平面间的距离:,一平面上一点到另一平面距离,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,
28、L1,(5)异面直线之间的距离,L2,s1,s2,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例18.求证L1:,解：,L2:,是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.,所以是两条异面直线.,公垂线的方向为,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,L1,L2,s1,s2,解1：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,2,平面1的法向量为,平面2的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.,平面2的方程为,公垂线的方程为,2x+5y+4z+8=0,例18.L1:,L2:,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,解2：,再求出公垂线的方程.,L1,
29、L2,s1,s2,1,平面1的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.,平面1与直线L2的交点为,公垂线的方程为,M(8,0,2).,例18.L1:,L2:,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,3.通过直线L的平面束方程,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例19.已知1:2x y+z+1=0,问1与2是否相交;若相交,求出交线在平面:2x+3y 6=0上的投影直线方程.,2:x 3y+2z+4=0.,解：,1,2相交.,过交线且垂直 的平面3:,3:,所求投影直线方程为,
30、第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例20.求直线L:,:x+y 2z+1=0上的投影直线方程.,解：,设过 L 的平面束方程为:,所求投影直线方程为,直线的对称方程可转化为一般方程:,投影平面方程为,在平面,垂直于的平面1的法向量满足,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例20.求直线L:,:x+y 2z+1=0上的投影直线方程.,解II：,所求投影直线方程为,投影平面方程为,在平面,过直线l且垂直于的平面1的法向量为:,(2,1,2)(1,1,2)=(4,6,1),又因为1过直线l上的点(2,1,1),可得1的点法式方程 4(x2)+6(y1)+(z+1)=0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,
