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1、第二章 第3节函数的奇偶性与周期性,考纲要求,知识分类落实,考点分层突破,课后巩固作业,内容索引,1,2,3,知识分类落实,1,夯实基础,回扣知识,知识梳理,/,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 正周期.,2.函数的周期性,最小,1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意
2、义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)上是偶函数.()(2)若函
3、数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.(),诊断自测,/,解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错误.,2.下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x|D.y2x 解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.,B,D,
4、5.(2021日照一中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，则f(2 022)()A.3 B.0 C.1 D.3解析由于f(x)为奇函数，且f(x)f(3x)，f(3x)f(x)f(x)，从而知周期T6，f(2 022)f(0)0.,B,6.(2020全国大联考)已知f(x)exeax是偶函数，则f(x)的最小值为_.解析f(x)exeax是偶函数，f(1)f(1)，得eeae1ea，则a1.当且仅当x0时取等号，故函数f(x)的最小值为2.,2,考点分层突破,题型剖析,考点聚焦,2,角度1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：,考点一函数的奇偶性
5、及其应用,/,多维探究,因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,解显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.,解显然函数f(x)的定义域为R，,故f(x)为奇函数.,感悟升华,判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以
6、转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,角度2函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，x0时，f(x)f(x)(eax)eax，所以f(ln 2)ealn 2eln 2a2a823，即2a23，所以a3.,3,(2)设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0；当20.综上，f(x)0的解集为(2，0)(2，5.,(2，0)(2，5,感悟升华,1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参
7、数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.,【训练1】(1)(2021百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxsin x B.yxln x,B,B中，函数yxln x的定义域为(0，)，非奇非偶函数.,(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(3)_.解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，故f(x)2x1(x0)，则f(3)f(3)(231)7.,7,考点二函数的周期性及其应用,/,自主演练,1,解析由f(x2)f
8、(x2)，知yf(x)的周期T4，又f(x)是定义在R上的奇函数，,A,3.已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50解析法一f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，,C,令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2
9、)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.,4.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析因为当0 x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.,7,感悟升华,1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解
10、决问题.,角度1函数的单调性与奇偶性【例3】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.alog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.,考点三函数性质的综合运用,/,多维探究,C,(2)(2020新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A.1，13，)B.3，10，1C.1，01，)D.1，01，3解析因为函数f(x)为定义在R上的
11、奇函数，所以f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3.故选D.,D,感悟升华,1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2
12、)求解.,角度2函数的奇偶性与周期性【例4】(1)(2021贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当1x0时，f(x)2x1，则f(log220)()解析依题意，知f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2log253，则12log250，所以f(log220)f(2log25)f(log252),B,解析因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.f(5)f(1)f(1)1.,A,感悟升华,周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.,角
13、度3函数的奇偶性与对称性相结合【例5】已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(5)2，则f(2 021)_.解析由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.由f(x4)f(x)，得f(x44)f(x4)f(x)，所以f(x)是周期T8的偶函数，所以f(2 021)f(52528)f(5)f(5)2.,2,感悟升华,函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要
14、混淆.,解析f(x)的定义域为x|xR，且x0，且f(x)f(x)，则yf(x)是偶函数，,D,(2)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)，又由函数为奇函数，则f(x)f(x)，则f(x)f(x)f(6x)，则f(x)的最小正周期是12，故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.,2,活用函数性质中三类“二级结论”通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质.一、抽象函数的周期性问题(1)如果f(xa)f(x)(a0)，
15、那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.,【例1】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 023)f(2 024)()A.3 B.2 C.1 D.0解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 023)f(2 023)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次，又当x(0，3)时，f(x)x1，f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 02
16、4)f(33762)f(2)3.故f(2 023)f(2 024)f(2 023)31.,C,二、函数的对称性问题(1)若函数yf(x)为奇函数(或偶函数)，则函数yf(xa)的图象关于点(a，0)对称(或关于直线xa对称).(2)若函数yf(xa)为奇函数(或偶函数)，则函数yf(x)的图象关于点(a，0)对称(或关于直线xa对称).(3)函数yf(x)的图象关于点A(a，b)对称的充要条件是f(x)f(2ax)2b.,【例2】(1)(2020鹰潭二模)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当1x0时，f(x)x21，则f(2 021)()A.2 B.0 C.1 D.1解析因为偶函数
17、yf(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)f(x)，f(2x)f(x)0，所以f(x2)f(x)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，所以函数yf(x)是以4为周期的函数，所以f(2 021)f(45051)f(1)f(1).又当1x0时，f(x)1x2，故f(2 021)f(1)1(1)20.,B,解析依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(x2)f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x1对称，且f(0)0.又f(x)在区间1，2上单调递减，则f(x)在区间0，1上单调递增，则f(1)0.由0f(0)0，,C,所以f(c)f(b)f(a).,三、奇函数的最
18、值问题已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.,解析显然函数f(x)的定义域为R，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.,2,课后巩固作业,3,提升能力,分层训练,一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y|log3x|B.yx3C.ye|x|D.ycos|x|解析对于A，函数定义域是(0，)，故是非奇非偶函数，显然B
19、中，yx3是奇函数.对于C，函数的定义域是R，是偶函数，且当x(0，)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D，ycos|x|在(0，1)上单调递减.,C,A级 基础巩固,/,2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x2，则f(2 021)()A.2 0212 B.1 C.0 D.1解析根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 021)f(12 020)f(1)121.,B,解析f(x)在R上是偶函数，且在(，0)上是增函数，f(x)在(0，)上是减函数，,D,4.若定
20、义域为R的函数f(x)在(4，)上为减函数，且函数yf(x4)为偶函数，则()A.f(2)f(3)B.f(2)f(5)C.f(3)f(5)D.f(3)f(6)解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，因此yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5).又yf(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以f(3)f(6).,D,D,D,二、填空题7.已知奇函数f(x)在区间3，6上是增函数，且在区间3，6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_.解析由于f(x)在3，6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，因为f
21、(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.,9,解析由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数.又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，解得a2.5.,2.5,解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，,又函数f(x)在区间0，)上是单调递增的，,解设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x).于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.,(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解要使f(x)在1，a2上单调递增，
22、,故实数a的取值范围是(1，3.,11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x).当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x).f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x2，4时，求f(x)的解析式.解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即当x2，4时，f(x)x26x8.,B级 能力提升,/,C,即函数f(x)为奇函数，,则f(2x)f(x1)0f(2x)f(1x)，,1,则函数f(x)的周期是4，所以f(
23、2 021)f(50541)f(1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 021)f(1)f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 021)f(1)1.,14.设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x.(1)求f()的值；解由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.,(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故函数yf(x)的图象关于直线x1对称.又当0 x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.,
