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1、42 内力方程 内力图,第4章 静定结构的内力计算,4-3 用叠加法作弯矩图,41 杆件的内力 截面法,41 杆件的内力 截面法,F,F,F,F,拉伸,压缩,I 杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。,一、拉压杆的内力轴力,F,F,F,FN,拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。轴力以拉为正，以压为负。,II 扭转的概念,直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。,扭转：,扭转角（两端面相对转过的角度）,剪切角，剪切角也称切应变。,扭转的内力扭矩,一、扭矩,圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T 表示之。,扭矩
2、的正负号按右手螺旋法则来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。,扭矩的大小由平衡方程求得。,III 弯曲的概念,1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,3.工程实例,二、平面弯曲,杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。,三、简单静定梁,悬臂梁,简支梁,外伸梁,梁的内力-剪力和弯矩,F,A,B,a,l,F,A,B,FAx,FAy,FB,荷载和支座反力皆
3、属外力，下面研究横截面的内力。,P,A,B,a,l,将梁从位置截开，取左侧。,x,A,FAy,Fs,M,x,因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。,剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；,弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。,Fs,Fs,Fs,Fs,M,M,M,M,剪力正负的规定,弯矩正负的规定,内力通过平衡方程计算。,A,FAy,Fs,M,x,计算梁内力的步骤：,取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；,将梁在要求内力的部位截开，选简单一
4、側作研究对象；,画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；,列平衡方程 Fx=0，求剪力FS；m=0，求弯矩。,扭矩图的画法步骤：,画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；,将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；,用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。,按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。,二、轴力图,一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆各截面的的轴力的图象称为轴力图。,轴力图的画法步骤如下：,画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；,将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；,
5、用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。,按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。,例1 画图示杆的轴力图。,轴力图,FN1,FN2,FN3,第一段:,第二段:,第三段:,例2 长为l，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力P 作用，画该杆的轴力图。,l,P,x,P,FN,轴力图,P,P+W,例3 画图示杆的轴力图。,A,B,C,D,轴力图,轴力图,42.1 梁的剪力和弯矩,F,A,B,a,l,F,A,B,FAx,FAy,FB,荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。,P,A,B,a,l,将梁从位置截开，取左
6、侧。,x,A,FAy,Fs,M,x,因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。,剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；口诀：正剪力-左上右下,弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。口诀：正弯矩-左顺右逆,Fs,Fs,Fs,Fs,M,M,M,M,剪力正负的规定,弯矩正负的规定,内力通过平衡方程计算。,A,FAy,Fs,M,x,计算梁内力的步骤：,取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；,将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；,内力计算公式
7、：左侧分析：FS=（）-（）；M=（）-（）右侧分析：FS=（）-（）；M=（）-（）,或按照截面法 列平衡方程 Fx=0，求剪力FS；m=0，求弯矩。,例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FA,FB,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。,C,P=12kN,22截面,FA,2,2,Fs2,M2,A,FA,3,3,Fs3,M3,A,33截面,D,2,2,3,3,P,Fs3,M3,Fs2,M2,由2、3
8、 截面的内力计算可得如下结论：,集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；,集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力发生突变，其值等于集中力（集中力以向上为正）。,C,4,4,M4,Fs4,44 截面,由44 截面的内力计算可得如下结论：,自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；,自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。,例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体，,11截面,FA,1,1,Fs1,A,M1,m1,FA,2,2,Fs2,M2,A,3,3,Fs3,M3,B,m1,22截面,33截面,FB,由2、3 截面的内力计算可得如下结论：,集中力偶作用截面的的剪力相等；
9、,集中力偶作用截面的的弯矩发生突变，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以顺时针转为正）。,C,2,2,3,3,Fs3,M3,FS2,M2,m2,例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,B,FA,2,2,Fs2,M2,A,m,22截面,3,3,Fs3,M3,FB,q,33截面,B,42.2 剪力图和弯矩图,q,x,q,l-x,l,Fs(x),M(x),图示梁任一截面的内力。,截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。,截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。,q,x,l,剪力方程 的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。,剪力图
10、,ql,x,Fs,弯矩方程 的函数图象称为弯矩图。按工程规定弯矩图画在杆的受拉一侧，因此正的弯矩画在基线下侧，负的画在上侧。,x,M,ql2/2,弯矩图,补充 剪力、弯矩与荷载集度间的关系,A,B,dx,x,q(x),M(x)+d M(x),Fs(x)+d Fs(x),Fs(x),M(x),dx,o,取微段dx，受力如图。,A,B,dx,x,略去高阶微量得：,当q=0，Fs=常数，Fs 图为平直线；,M 为一次函数，M 图为斜直线；,当q=常数，Fs为一次函数，Fs 图为斜直线；,M 为二次函数，M 图为抛物线；,当M 图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。,由：,可知弯
11、矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。,根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。,根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：,取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；,将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；,用公式法或截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由M=ql2/8确定弯矩抛物线中点所对应截面的弯矩值；,用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值。,例4 画图示梁的剪力图和弯矩图。,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=
12、,0,0,B,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,FB=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,FA,2,2,Fs2,M2,A,6,6,6,12,B,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,6,6,-18,12,FA,3,3,Fs3,M3,A,m,24,B,4,4,M4,Fs4,FB,6,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,FB=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,6,6,-18,12,2
13、4,B,6,6kN,18kN,3m,5,5,5,5,Fs5,M5,FB,q,0,27,12kN.m,24kN.m,27kN.m,B,例5 画图示梁的剪力图和弯矩图。,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA,FB,3,2m,1,1,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,A,C,2m,P=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,
14、5,FA,3,3,Fs3,M3,A,P,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,10kN.m,A,C,2m,P=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs 图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,5,RA,4,4,Fs 4,M4,A,P,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,10kN.m,8kN.m,8,8,例6 画图示梁的内力图。,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FB,mA,
15、Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,FB=12kN,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,mA=8kN.m,P=4kN,2,2,FB,Fs2,M2,-8,-8,-8,4kN,8kN,8kN.m,8kN.m,C,B,例7 画图示梁的内力图。,A,B,C,D,3m,4m,2m,F=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,解：取整体，,FA,FC,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),A,B,C,D,3m,4
16、m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs 图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,A,B,C,D,3m,4m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,FA,3,3,Fs3,M3,A,m,q,9,4,A,B,C,D,3m,4m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,
17、4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,FA,2,2,Fs2,M7,A,q,9,4,2,2.5m,FA,7,7,Fs7,A,q,7,7,3.125,M2,83 按叠加原理作弯矩图,q,m,A,B,l,m,A,B,l,q,A,B,l,=,+,FA=m/l,FB=m/l,FA=ql/2,FB=ql/2,Fs图,M图,m/l,m,ql/2,ql/2,ql2/8,m/l+ql/2,m/l-ql/2,m,ql2/8,=,+,+,=,Mmax,P,m,A,B,l/2,m,A,B,A,B,=,+,FA=m/l,FB=m/l,RA=P/2,FB=P/2,Fs图,M
18、图,m/l,m,P/2,P/2,Pl/4,m/l+P/2,m/l-P/2,m,Pl/4,=,+,+,=,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,P,应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：,l/2,l/2,A,B,MA,MB,P,l/2,l/2,A,B,MA,MB,q,Pl/4,MA,MB,MB,MA,ql2/8,M图(b),M图(a),AB段梁中间作用一集中力P，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（a）所示；,AB段梁作用于均布荷载，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（b）所示。,例8 用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kN/m,A,P=4kN,6m,2m,1,1,2,2,3,3,4
19、,4,B,C,M 图,解：将梁分为AB，BC两段。,8kN.m,9kN.m,不必求支座反力。,例9 用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kN/m,A,P=4kN,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,C,B,M 图,2m,8kN.m,解：将梁分为AC，BC两段。,先求支座反力。,FA,FB,例10 用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kN/m,A,P=4kN,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,C,B,M 图,16kN.m,4kN.m,2m,8kN.m,4kN.m,8kN.m,FA=6kN,FB=6kN,例11 用叠加法画图示梁的弯矩图。,3kN,10kN,2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,A,B,C,D,2m,2m,2m,2m,M 图,解：将梁分为AB、BC、CD三段。,不必求支座反力。,6kN.m,4kN.m,10kN.m,1kN.m,5kN.m,精品课件！,精品课件！,
