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1、传递函数矩阵的结构特性是复频率分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点分布属性和极点零点不平衡属性表征。前一属性决定系统的稳定特性和运动行为，后一属性反映系统的奇异特性和奇异程度。,第9章 传递函数矩阵的结构特性,9.1 史密斯-麦克米伦形9.2 传递函数矩阵的有限极点和零点9.3 传递函数矩阵的结构指数9.4 无穷远处的极点和零点9.5 传递函数矩阵的评价值,9.1 史密斯-麦克米伦形,一.史密斯-麦克米伦形定义,将多项式矩阵的smith形推广应用到有理分式矩阵G(s)，得到Smith-McMillan形,左上角为r*r对角阵，其余为0阵，且 互质。,二.史密斯-麦克米伦形构造定
2、理,三.史密斯-麦克米伦形基本特性 1 Smith-Mcmillan形对给定的G(s)唯一，但单模变换阵U(s),V(s)不唯一。2 M(s)非保真属性 3 若G(s)为方阵，且非奇异，则 M(s)可表为,4 M(s)的MFD表示,5 G(s)基于M(s)的不可简约MFD U(s)，V(s)为单模阵,9.2 传递函数矩阵的有限极点和零点,SISO系统：,对SISO系统 零点当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。极点当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值；极点是使G(s)的模为 的那些s值。对MIMO系统，则要复杂得多。,零点、极点的
3、定义：,一.Rosenbrock对零极点的定义,给定,定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,r G(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,r,其Smith-Mcmillan形为：,给定,例如所以，零点：s=0处有三个零点；极点：s=-1处有两个极点；s=-2处有三个极点。,二.其它对零极点的定义,1.基于不可简约矩阵分式描述的定义 G(s)的有限极点：detD(s)=0的根，或detDL(s)=0的根G(s)的有限零点：使N(s)或NL(s)降秩的s值。（注：该定义等价于Rosenbrock定义）证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则,则,而对左不可
4、简约MFD有同样的结论。例：求有限零点和有限极点,2.基于状态空间描述的定义,G(s)严真时，对应的状态空间描述A,B,C能控，能观，则,3.方便计算的定义（1）G(s)的极点 G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根就是G(s)的极点.（2）G(s)的零点 当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。注：各阶子式必须化为不可简约形式。,例子,（1）求极点：G(s)的一阶子式即为其各个元素，G(s)的二阶子式为（2）求零点：上边的2阶子式以p(s
5、)为分母，则有 分子的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。,4 几点讨论（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时，可以不形成对消。例（2）由定义可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”,（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。（4）若s=是G(s)的零点，则必有 但不一定rankG(s=)rankG(s).不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零 点的依据。,三.零点的性质,考虑严真G(s)及不可简约实现A,B,C,z0为G(s)的任
6、一零点，则对满足阻塞传输性。,9.3 传递函数矩阵的结构指数,一.结构指数的定义,给定,定义：则 是G(s)的有限极点和零点的集合。,（1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。（2）零极点的重数 在s=处的极点重数=中负指数之和取绝对值。在s=处的零点重数=中正指数之和,二 对结构指数的几点讨论,9.4 无穷远处的零极点,一.无穷远处零极点的定义SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点；若G(s)趋于，则在处有极点（非真时）。MIMO系统：在G(s)中，以 代入，化成H()有理 分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为注：只需确定无穷远处零极点的个数。,例：无
7、穷远处的极点：=0，2个无穷远处的零点：=0，1个,二.无穷远处的结构指数1 s=处结构指数 则G(s)在s=处结构指数,2 s=处极零点重数,G(s)在s=处极点重数,G(s)在s=处零点重数,9.5 传递函数矩阵的评价值,意义：为确定传递函数矩阵的结构指数和零点极点及其重数提供一种易于计算的简便途径。特点：直接根据传递函数矩阵计算确定。,传递函数矩阵在有限复平面上的评价值SISO系统：对标量传递函数,当且仅当g(s)可表示为：g(s)在 上评价值：其中，d(s)和n(s)为互质且均不能为 所整除。,MIMO系统：对 传递函数矩阵G(s),rankG(s)=r，表 为G(s)的 子式，则G(
8、s)在 即 上第i阶评价值：,2.定义 传递函数矩阵的评价值,3.传递函数矩阵评价值相关的结论（1）评价值的整数属性 G(s)的各阶评价值 只能取负整数、零和正整数。,（2）单模变换下评价值的不变性 G(s)的有限极点和有限零点 导出G(s)的Smith-McMillan形：U(s)和V(s)为单模矩阵。,（3）非极点和零点处的评价值 对复平面上任意非极点零点，其各阶评价值必为零。,（4）评价值和结构指数间的关系,（5）根据评价值构造Smith-McMillan形,G(s)的Smith-McMillan形,例3 利用评价值求G(s)的Smith-McMillan形,1.SISO系统：对标量传递函数g(s),g(s)在 处评价值：2.MIMO系统：对 传递函数矩阵G(s),G(s)在 处第i阶评价值：,二.传递函数矩阵在无穷远处的评价值,3.G(s)在无穷远处评价值的相关结论（1）由评价值计算无穷远处的结构指数,(2)根据无穷远处评价值构造无穷远处的Smith-McMillan形G(s)在无穷远处的评价值 继而，按下式求结构指数,G(s)在无穷远处的Smith-McMillan形,
