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1、第二十二章 曲面积分,1 第一型曲面积分,教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式(1)基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式(2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式,第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算,设曲面形物体 S 具有连续的面密度函数,类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想,求其质量 M.,采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，可得,一、第一型曲面积分的概念,定义1 设 S 为可求面积的曲面,为定义在 S 上的函数.对曲面 S 作分割 T，将 S 分成
2、,n 个小曲面块 Si(i=1,2,.,n)，Si 的面积记为,在 Si 任取一点,若极限,存在，则称此极限为 f(x,y,z)在 S 上的第一型,曲面积分，记作,于是,曲面形物体 S 的质量为,第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质,类似，例如,定理22.1 设有光滑曲面,f(x,y,z)在 S 上连续,则,二、第一型曲面积分的计算,证明:由定义知,而,(光滑),说明:,则有公式：,1)如果曲面方程为,如果曲面方程为,则有公式：,2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,例1.计算曲面积分,其中S是球面,被平面,截出的顶部.,解,例 计算曲面积分,其中 S 为立体,的边界曲面.,解,设,所以,例 计算,其中 S 为右半球面,例 计算,其中 S 为,例.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解:设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,例.计算,解:取球面坐标系,则,例.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,
