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1、对弧长的曲线积分的概念、计算与应用,一、对弧长的曲线积分的概念,二、对弧长的曲线积分的性质,三、对弧长的曲线积分的计算,一、对弧长的曲线积分的概念,第一类曲线积分(对弧长的曲线积分),存在条件,几何意义与物理意义,二、对弧长的曲线积分的性质,使得,其中s是曲线L的长度.,(5)设函数f(x)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点,三、对弧长的曲线积分的计算,定理,注：,被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的参数方程代入被积函数中,两种特殊情形,推广,例1,解,例2,解,例3,解,(根据积分曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性),对坐标的曲线积分的概念、计算与应用,一、对坐标的曲
2、线积分的概念,二、对坐标的曲线积分的性质,三、对坐标的曲线积分的计算,四、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念,引例:变力沿曲线所作的功,二、对坐标的曲线积分的性质,性质1,性质2,性质3,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,例1,解,注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同.,例2,解,注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同.,例3,解,直线段AB的方程是,化为参数方程得,所以,四、两类曲线积分之间的联系,其中,格林公式及其应用,一、格林公式,二、格林公式的简单应用,
3、三、平面曲线积分与路径无关的条件,1.单(复)连通区域及其正向边界,单连通区域就是没有“洞”的区域.,一、格林公式,2.格林公式,上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.,1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的关系.,2.给出了计算二重积分的新方法.,3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.,格林公式便于记忆的形式,(1)简化曲线积分,二、格林公式的简单应用,例1,解,例2,解,(2)简化二重积分,例3,解,(3)计算平面区域的面积,例4,解,(4)计算曲线方程未知的曲线积分,例5,解,(积分值与积分路
4、径无关),三、平面曲线积分与路径无关的条件,例1,解,关于曲线积分的几个等价命题,定理,函数,则下列命题,等价:,二元函数的全微分求积,根据上述定理,理的条件,则,满足,数.,此时,因(1)式右端的曲线积分与路径无关,于是,则,例1,并求其一个原函数.,证,这里,所以原式是全微分，,为其一个原函数.,例2,计算,积分沿不通过坐标原,点的路径.,解,显然,于是,对面积的曲面积分的概念、计算与应用,一、对面积的曲面积分的概念,二、对面积的曲面积分的性质,三、对面积的曲面积分的计算,一、对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,
5、积分曲面,dS 面积元素,积分和式,被积函数,以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.,曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量.,二、对面积的曲面积分的性质,三、对面积的曲面积分的计算,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,则,则,解,例1,对坐标的曲面积分的概念、计算与应用,一、对坐标的曲面积分的概念,二、对坐标的曲面积分的性质,三、对坐标的曲面积分的计算,四、两类曲面积分之间的联系,为研究问题的需要,在双侧曲面上选定某一侧.,选定了侧的双侧曲面称为定向曲面.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,二、对坐标的曲面积分的性质,三、对坐标的曲面积分的计算
6、,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,例1,解,说明:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必须分片计算积分,然后把结果相加.,解,例2,四、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,合一投影法,将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分.,解,例4,高斯公式及其应用,一、高斯公式,二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,一、高斯公式,根据高斯公式,例1,解,使用高斯公式时的注意事项,例3,解,斯托克斯公式及其应用,一、斯托克斯公式,二、典型例题,1.定向曲面边界曲线的方向,一、斯托克斯公式,2.斯托克斯公式,为了便于记忆,斯托克斯公式可记为,斯托克斯公式的另一种形式,表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系.是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格林公式的推广.,斯托克斯公式的实质,二、典型例题,例1,解,
