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1、第九章 机器人运动学,机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩将机器人的空间位移解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。,9.1 机器人运动学所讨论的问题,9.1.1 研究的对象机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人。,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,这两种机器人有所不同：串联机器人：工作空间大，灵活，刚度差，负载小，误差累积并放大。并联机器人：刚性好，负载大，
2、误差不积累，工作空间小，姿态范围不大。本章讲解以串联机器人为主。,9.1.2 运动学研究的问题,Where is my hand?,Direct KinematicsHERE!,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics:Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,研究的两类问题:运动学正问题-已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐次变换问题）。运动学逆问题-已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位置），操作机能否使其末端执行器达到这个
3、预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？,9.2 机器人杆件，关节和它们的参数,9.2.1 杆件与关节操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成每一对关节杆件构成一个自由度，因此N个自由度的操作机就有N对关节杆件。0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。,关节,杆件,末端操作手,机座,两自由度关节,关节：一般说来，两个杆件间是用低副相联的只可能有6种低副关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和
4、平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：,旋转,棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,9.2.2 杆件参数的设定,条件关节串联每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和 Ai+1相连。第 i 关节的关节轴 Ai 位于2个杆件相连接处，如图所示，i-1关节和 i+1关节也各有一个关节轴 Ai-1 和 Ai+1。,杆件参数的定义、和,li 和 li-1 在 Ai 轴 线上的交点之间 的距离。,li 和 li-1 之间的夹 角，按右手定则 由li-1 转向 li。,由运动学的观点来看，杆件保持其两端关节间的形态不变，这种形态由两个参数决定：杆件长度 li 和杆
5、件扭转角。杆件的相对位置关系，由另外两个参数决定：杆件的距离 di 和杆件的回转角。,li 关节 Ai 轴和 Ai+1 轴线公法线的长度。,关节i 轴线与i+1轴线在垂直于li 平面内的夹角。,上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系。在转动关节中，li,i,di是固定值，i是变量。在移动关节中，li,i,i是固定值，d i 是变量。,9.3 机器人关节坐标系的建立,对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（xi,yi,zi），（i=1,2,n），n是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。基座坐标系 O0定义为0号坐标系（x0,y0,z0）,它也
6、是机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但z0轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可任选；最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但必须保证 zn与zn-1 垂直。,机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法），建立原则如下：,9.3.1 D-H关节坐标系建立原则,右手坐标系原点Oi：设在li与Ai+1轴线的交点上 Zi轴：与Ai+1关节轴
7、重合，指向任意 Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则,9.3.2 关节坐标系的建立方法,Ai,Ai+1,Ai-1,原点Oi：设在li与Ai+1轴线的交点上 zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 xi轴：与公法线li重合，指向沿li由Ai轴线指向Ai+1轴线 yi轴：按右手定则,杆件长度li 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆件扭转角i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量 di 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回转角i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi,
8、两种特殊情况,两轴相交，怎么建立坐标系？Oi Ai与Ai+1关节轴线的 交点；zi Ai+1轴线；xi zi和zi-1构成的平面的 法线；yi 右手定则；,Ai,Ai+1,zi-1,zi,xi,yi,Oi,两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立 Oi-1然后建立Oi+1最后建立 Oi,注意：由于Ai和Ai+1平行，所以公法线 任意点在A点位置；按照先前的定义，di为Oi-1点和A点之间的距离，di+1为B点和C点间的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将0i点放在C点，定义Oi在li+1和Ai+1轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时di=,9.4 相邻关节坐标系
9、间的齐次变换过程 机器人运动学正解,将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；沿 zi-1轴平移距离 di，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；沿 xi 轴平移距离 li，使两坐标系原点及x轴重合；绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合,机器人的运动学正解方程,D-H变换矩阵,=,=,例题,试求立方体中心在机座坐标系0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于0的姿态是什么？,在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系
10、，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。,解1：,因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。,解2：,X机,例：Stanford机器人运动学方程,A1,A2,A3,A4,A5,A6,z1,x1,y1,O1,z2,x2,y2,O2,z3,y3,x3,O3,y4,z4,x4,O4,z5,y5,x5,O5,z6,x6,y6,O6,z0,y0,x0,O0,为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线yi轴
11、：按右手定则,li 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zidi 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi 1 坐标 系原点的距离i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi,解：,9.5 工作空间,工作空间:末端操作手可以到达的空间位置集合。如何获得工作空间:利用正运动学模型,改变关节变量值。灵活空间:末端操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合。可达空间:末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置 集合。,空洞：在 zi轴周围，参考点Pn沿z的全长均不能达到的空间。空腔：参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。,空洞,
12、空腔,如何确定可达空间?首先，令 3变化,示例:平面 3连杆机器人,l2,l3,l1,然后 2变化,9.6 机器人末端操作器位姿的其它描述方法,用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，、就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中,3种最常见的欧拉角类型,类型1：表示法通常用于陀螺运动,类型2：所得的转动矩阵为右乘,类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形
13、 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）,正运动学问题:已知关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿.逆运动学问题:已知末端操作手的位姿，求解对应的关节变量.为什么逆运动学问题更困难?可能存在多解或无解通常需多次求解非线性超越方程,9.7 运动学逆问题,解的存在性,目标点应位于工作空间内工作空间的计算通常较困难，通过机器人结构设计时的考虑可以简化可能存在多解，如何选择最合适的解？,存在双解!,求解方法,如果各关节可用某算法获得，一个机械手是有解的.算法应包含所有可能解.,封闭形式解数值解,方法,我们对封闭形式的解法更感兴趣 代数方法 几何
14、方法,可解性的重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，其通解一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于 0 或 90的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。,对于给定的机器人，能否求得它的运动学逆解的解析式（也叫封闭解）。,运动学逆问题的可解性,运动学逆问题的多解性,机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组
15、解与实际情况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。,通常采用如下方法剔除多余解：,若该关节运动空间为，则应选。,1根据关节运动空间合适的解。例如求得机器人某关节角的两个解为,2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：,若该关节运动空间为，且，则应选,3根据避障要求得选择合适的解,4逐级剔除多余解,对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中选择合适的解。,逆运动学的定义 逆运动学的存在性 逆运动学的可解性 逆运动学的多解性（剔除办法）逆运动学解法（数值解、解析解）,运动学逆问题,How do I put my hand here?,
16、Inverse Kinematics:Choose these angles!,运动学逆问题,用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边考察方程式左、右端两端对应元素相等，以产生一个有效方程式。然后求这个三角函数方程式，以求解未知数 把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解无法有数种可能解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择,运动学逆问题解法,Paul 等人提出的方法(1981年，解析解):,Paul 等人提出的方法,因此，通常用反正切函数 来确定 值，它可把 校正到适当的象限，其定义为：,不能用反余弦 来求解关节角，因
17、为这样求解不仅关节角的符号不确定（），而且角的精度也难以保证（）。,例：欧拉角第一种类型，求逆,类型1：表示法通常用于陀螺运动,解：,由式中矩阵（1，3）元素相等，有,斯坦福机器人运动学逆问题解,式中：,由两端矩阵对应元素相等可得：,作三角变换：,式中：,得到：,即有：,（）,由1,4和2,4元素对应相等，得：,式中第四列：,式中第三列：,高腕,低腕,9.8 雅克比矩阵,雅可比矩阵定义,上式,雅可比矩阵性质,1、建立起机器人末端笛卡尔速度与关节速度的映射关系；2、雅可比矩阵是时变的线性变换；3、矩阵的行数对应机器人在笛卡尔空间的操作自由度数，列数对应机器人的关节数；4、当雅可比矩阵的行列式值
18、时，机器人 处于奇异状态，此时机器人将失去一个或几个自由度。,雅可比矩阵构造方法,zi-1轴上的单位矢量。,操作器末端点在i-1坐标系中的位置矢量。,例：构造图示机器人雅克比矩阵,思考题：1、D-H变换的过程？2、机器人坐标系D-H法的建立方法？3、机器人正运动学方程建立步骤和方法？4、机器人逆运动学方程求解方法？5、机器人雅克比矩阵的意义和性质？,主要参考文献：（1）柳洪义，宋伟刚 编著，机器人技术基础，冶金工业出版社，2002（2）美 John J.Craig著，贠远超译，机器人学导论，机械工业出版社，2006.6（3）美 付京逊 等著，机器人学，中国科学技术出版社，1989（4）蔡自兴著，机器人学，清华大学出版社，2000,
