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1、主要内容,典型例题,课后习题,第二章 矩阵,定义 1,基本概念,矩阵的代数运算,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,几种特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵 A，称为n阶,方阵.也可记作An.,（7）对角阵,(8)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,、定义,矩阵的加法,2、矩阵加法的运算规律,二、数与矩阵相乘,1、定义,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵，其中,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为
2、A的 次幂，即 并且,注意矩阵不满足交换律，即：,四、矩阵转置,定义,转置矩阵的运算性质,说明:,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,五、方阵的行列式,运算性质,定义,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵.,六、共轭矩阵,定义,运算性质,二、逆矩阵的概念和性质,定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得AB=BA=E，则说矩阵A 可逆的，并把矩阵B 称为A的逆矩阵，,定理1 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,定理2 矩阵 可逆的充要条件是，且,推论：,逆矩阵的运算性质,二、分块矩阵的运算规则,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,
3、定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,(3)把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行（列）的k 倍加到第i行上，记作,特点：,（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行最简形,标准型,对行最简形矩阵再施以列初等变换，可得标准形矩阵,求逆矩阵的新方法:,若把矩阵(A,E),的行最简形记作(E,X),则,二、初等矩阵,1.对调两行或对调两列,性质2 方阵,可逆的充分必要条件是存在有限个初等,，使得,方阵,定理
4、3 设,为,矩阵，则,（1）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,，使,；,（2）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,，使,；,（3）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,和,阶可逆矩阵,，使,即,初等行变换,利用初等变换求解矩阵方程的方法:,一、矩阵秩的概念,矩阵秩的简单性质,（1）一个矩阵的秩是惟一的；,（2）设,为,矩阵，则,；,（3）若在矩阵,中有一个,阶子式不为零，则,；若矩阵中所有,阶子式全为零，则,；,（4）,矩阵秩的常用性质：,（5）,（6）,（7）,（8）若,，则,一、矩阵的运算,二、逆矩阵的运算及证明,三、矩阵的分块运算,典型例题,四、初等变换、矩阵的秩,五、解矩阵方程,典型例
5、题,注意矩阵相乘的条件！,一、矩阵的运算,二、逆矩阵的运算及证明,求逆矩阵的方法,（1）,习题二 7，23，24,练习（第二次课件）：,A-1=,（）,解,例2（第四次课件）,逆矩阵的有关证明,习题二 9，10，15,16,19，20；,（1）构造一个矩阵，使之与已知矩阵相乘为单位矩阵.,（2）利用有关可逆矩阵的性质等.,推论：,证明:(1）,(2),两边同取行列式可得，,15.若A、B 都是 阶方阵，下列命题是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举反例说明,且,例3,三、矩阵的分块运算,运算与矩阵的运算类似.常用分块对角矩阵的运算性质.,习题二,21，22,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的
6、行数,四、初等变换、矩阵的秩,求矩阵的秩有下列基本方法,（1）计算矩阵的各阶子式，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,（2）用初等变换即用矩阵的初等行变换，把所给矩阵化为行阶梯形矩阵，所化得的阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用,习题二 27，28，29，30，31，32，33,练习：,解,显然，非零行的行数为2，,五、解矩阵方程,习题二 13，17，18，25，26,1.解出矩阵方程中未知矩阵的表达式，求出解；,2.初等变换法解矩阵方程.（注意灵活运用）,初等变换法,例,2012年6月,2013年6月,2014年1月,
