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1、一、利用直角坐标计算二重积分,三、小结 思考题,第二节 二重积分的计算法,二、极坐标系下二重积分的计算,【复习与回顾】,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为,(1)上节思考题,代替,？,不能用,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,【X型区域的特点】穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.【预备知识】,(2)Y型域,【Y型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(3)既非X型域也非Y型域如图,在分割后的三个区域上分别都是X型域
2、(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,(1).若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推导】,【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.,即得,公式1,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,【说明】(1)使用公式1必须是X型域，,公式2必须是,(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.,则有,(3)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域.,Y型域.,4
3、.【例题部分】,【例1】,【解】,看作X型域,【解】,看作Y型域,【例2】,【解】,D既是X型域又是Y型域,法1,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,【例3】,【解】,D既是X型域又是Y型域,先求交点,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,【小结】,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),5.【简单应用】,【例4】,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,【解】,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部
4、分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,【例5】,【解】,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,6.【补充】改变二次积分的积分次序例题,【补例1】交换下列积分顺序,【解】积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,【解】,【补例3】,【解】,当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,二、极坐标系下二重积分的计算,从而得极坐标系下的面积元素为,又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，,故在极坐标下，二重积分化为,则,二重积分极坐标表达式,【注意】极坐标系下的面积元素为,直角坐标系下的面积元素为,区别,2.二重积分化为二次积分的公式,区域特征如图,（1）极点O在区域D的边界曲线之外
5、时,若区域特征如图,特别地,（2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时,区域特征如图,（1）的特例,3.极坐标系下区域的面积,区域特征如图,（3）极点O在区域D的边界曲线之内时,（2）的特例,【解】,【解】,的原函数不是初等函数,故本题无法,【注】1.由于,用直角坐标计算.,【注】2.,利用例2可得到一个在概率论与数理统计中,以及工程上非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例2的结果,得,故式成立.,【解】,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,三、小结,Y型,X型,【练习】课本P95 习题9-2,【思考题】,【提示】,交换积分顺序后,x,y互换,【思考题解答】,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,【思考题】,即,【思考题解答】,
