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1、安庆师范大学,第三章 多维随机向量,第一节 二维随机向量及其分布,第三节 随机变量的独立性,第二节 边际分布,第四节 两个随机变量的函数的分布,第五节 条件分布,第六节 维随机向量及其分布,安庆师范大学第三章 多维随机向量 第一节 二维随机向量,安庆师范大学,第一节 二维随机向量及其分布,1.二维随机向量的定义及其分布函数,定义3.1.1 设，是定义在同一个样本空间 上的两个随机变量，则称向量 为 的二维随机变量，简记为。,定义3.1.2 设 是二维随机变量，对任意实数 和，称二元函数(3.1.1)为二维随机变量 的分布函数，或称为随机变量 和 的联合分布函数.,安庆师范大学第一节 二维随机向
2、量及其分布1.二维随机向量的,安庆师范大学,分布函数 的性质：,（1）单调不减性：是变量 和 的单调不减函数,（2）有界性：，且，有，。,（3）右连续性：是变量 和 的右连续函数，即。,（4）非负性：对于任意，下式成立：。,安庆师范大学分布函数 的性质：（1）单调不减性：,安庆师范大学,定义3.1.3 若二维随机变量 的所有可能取值是有限对或可列无穷多对，则称 为二维离散型随机变量.,2、二维离散型随机变量,定义3.1.4 设二维离散型随机变量 的一切可能取值为，且 取各对可能值的概率为（3.1.3）称式（3.1.3）为 的（联合）概率分布或（联合）分布列.,安庆师范大学 定义3.1.3 若二
3、维随机变量,安庆师范大学,表格形式为：,性质：（1）非负性：（2）规范性：,联合分布函数：,安庆师范大学 表格形式为：性质：联合分,安庆师范大学,例3.1.1 袋子中有5件产品（3正2次），任取一件产品，再取一件产品，设（1）试求有放回抽取方式下 的联合分布列；（2）试求无放回抽取方式下 的联合分布列.,解：（1）有放回抽取：,安庆师范大学 例3.1.1 袋子中有5件产品（3正2次,安庆师范大学,（2）无放回抽取：,例3.1.2 设随机变量 在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 在 中等可能地取整数值，试求 的分布律。,解：由题意易知 的取值为：,安庆师范大学（2）无放回抽取
4、：例3.1.2,安庆师范大学,即,安庆师范大学,安庆师范大学,3.二维连续型随机变量 定义3.1.4 设二维随机变量 的分布函数为，若存在一个非负可积函数，使得对任意实数，使得 则称 为二维连续型随机变量，称 为 的联合分布密度或概率密度.,安庆师范大学3.二维连续型随机变量,安庆师范大学,的性质：(1)非负性；(2)正则性；(3)设 为xOy平面上的任一区域，则点 落在 内的概率为.(3.1.6)(4)若 在点 处连续，则有,安庆师范大学 的性质：,安庆师范大学,例3.1.3 设二维随机变量 的联合密度为试求(1)常数,（2）,（3）解（1）由联合密度函数的正则性知从而.(2)(3),安庆师
5、范大学 例3.1.3 设二维随机变量,安庆师范大学,4.常见的二维分布 1.二维均匀分布 设 是平面上的一个有界区域，其面积为，若随机变量的联合密度函数为：就称 服从区域 上的均匀分布，简记为,安庆师范大学4.常见的二维分布,安庆师范大学,2.二维正态分布 设二维随机变量 具有联合概率密度函数其中 均为常数，且,则称 服从参数为 的二维正态分布，记作.,安庆师范大学 2.二维正态分布,安庆师范大学,3.二维指数分布 设二维随机变量 具有联合概率密度函数其中，则称 服从参数为 的二维指数分布。,例3.1.4 设（X，Y）在圆域x2+y24上服从均匀分布，求（1）（X，Y）的概率密度；（2）P0X
6、1，0Y1.,安庆师范大学 3.二维指数分布 例3.1.4,安庆师范大学,第二节 边际分布,1.边际分布函数,定义3.2.1设二维随机变量，各自的分布函数分别记为 和,则称 为 关于 的边际分布函数（Marginal distribution function），称 为 关于 的边际分布函数.,依定义有,安庆师范大学第二节 边际分布1.边际分布函数 定义3,安庆师范大学,例3.2.1 设 的分布函数为试求（1）系数（2）解：（1）由联合分布函数性质知 所以,安庆师范大学 例3.2.1 设 的分布函数为,安庆师范大学,（2）两个边际分布函数为,安庆师范大学（2）两个边际分布函数为,安庆师范大学,
7、2.二维离散型随机变量的边际分布列 定义3.2.2 设 是二维离散型随机变量，分别称 的分布列(3.2.3)(3.2.4)为 关于 的边际分布列.事实上，边际分布列可通过下式表出,安庆师范大学2.二维离散型随机变量的边际分布列,安庆师范大学,例3.2.2 设一个口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同.以 分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字写出下列两种试验的随机变量（X，Y）的联合分布与边际分布.（1）有放回摸球；（2）无放回摸球.解（1）采取有放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.(2
8、）采取无放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.,安庆师范大学例3.2.2 设一个口袋中有三个球，它们依次标,安庆师范大学,3.二维连续型随机变量的边际分布列 定义3.2.3 设 是二维连续型随机变量，联合密度函数为，由 的边际分布的定义知故称(3.2.5)为 关于 的边际密度函数。同样称(3.2.6)为 关于 的边际密度函数。,安庆师范大学3.二维连续型随机变量的边际分布列,安庆师范大学,例3.2.3 设 服从单位圆上的均匀分布，试求 的边际密度函数.解 由题知 的联合密度函数为 所以，当 或者 时，.当，且 时，有.综合可得 的边际密度函数为 同理可得 的边际密度函数为,安庆师范大学例
9、3.2.3 设 服从单位圆上的均匀分布，,安庆师范大学,第三节 随机变量的独立性,定义3.3.1 设 和 为两个随机变量，若对于任意的 和，事件 是相互独立的，即则称 和 相互独立(Mutually independent).对于一般随机变量，和 相互独立 对于离散型随机变量，和 相互独立 对于连续型随机变量，和 相互独立,安庆师范大学第三节 随机变量的独立性 定义3.3.1,安庆师范大学,例3.3.1 设 的联合分布列为试判断 的独立性.解 显然 的边际分布列为 因为 所以 不独立.,安庆师范大学 例3.3.1 设 的联合分布列为,安庆师范大学,例3.3.2已知 的联合密度为 问 是否独立？
10、解 的边际密度为 由此可见，与 相互独立,安庆师范大学 例3.3.2已知 的联合密度为,安庆师范大学,例3.3.3 设，则 独立的充要条件为 证明 充分性：当 时，的联合密度函数为.又由前一节例3.2.4知 所以，独立.必要性：设 独立，则对任意的 都有.特别的，取 得，即 于是.,安庆师范大学例3.3.3 设,安庆师范大学,第四节 两个随机变量的函数的分布,1.二维离散型随机变量函数的分布列,例3.4.1 设 的分布列为求 和 的分布律.解：,安庆师范大学第四节 两个随机变量的函数的分布1.二维离散型,安庆师范大学,例3.4.2 设 相互独立，且依次服从泊松分布，求证 服从.证明 的可能取值
11、为0，1，2，的分布列为 所以 服从,安庆师范大学 例3.4.2 设 相互独立，且依,安庆师范大学,例3.4.3 设随机变量 相互独立，且都服从参数为0.2的0-1分布，即 求 的分布.解：的分布列为同理可得 的分布列为,安庆师范大学 例3.4.3 设随机变量 相互独立，,安庆师范大学,安庆师范大学2.二维连续型随机变量函数的分布 一般方,安庆师范大学,安庆师范大学（1）和 的分布,安庆师范大学,例3.4.5 设 相互独立，密度函数分别为 求 的概率分布密度.解 由卷积公式知即 更一般地，有结论：设 相互独立且，则,安庆师范大学 例3.4.5 设 相互独立，密度函,安庆师范大学,安庆师范大学（
12、2）及,安庆师范大学,第五节 条件分布,1.二维离散型随机变量的条件分布律,定义3.5.1 设二维离散型随机变量 的联合分布列为.对于固定的j若 则称为在条件 下随机变量X的条件分布列。同样，对于固定的，若，则称为在 条件下随机变量Y的条件分布列.,安庆师范大学第五节 条件分布1.二维离散型随机变量的条件分,安庆师范大学,1.二维连续型随机变量的条件分布,定义3.5.2 设二维连续型随机变量 的分布函数为 概率密度函数为，则分别称在条件的下X的条件概率密度；在条件下的条件概率密度.分别称为在条件Y=y下X的条件分布函数和在条件X=x下Y的条件分布函数.,安庆师范大学1.二维连续型随机变量的条件分布 定义3.,安庆师范大学,例3.5.2 设，在 的条件下 试求 的概率密度解 由题意可得令，且将指数部分关于x进行配方得 最后一个等式应用到了密度函数的正则性.这个式子也表明,安庆师范大学 例3.5.2 设,安庆师范大学,例3.5.2 设随机变量，当观察到 时，求 的概率密度 解 按题意，X具有概率密度 类似地，对于任意给定的值，在 的条件下，的条件概率密度 因此，X和Y的联合概率密度为于是，得关于Y的边缘概率密度为,安庆师范大学 例3.5.2 设随机变量,
