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1、弯曲变形,第九章,弯曲变形第九章,9-1弯曲的概念,产生弯曲变形的杆称为梁,梁受到与其轴线垂直的横向力、纵向力偶作用要发生弯曲变形,一、概念,9-1弯曲的概念PqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁梁受,平面弯曲的概念,矩形截面梁有一个纵向对称面,当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。,因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲,平面弯曲的概念矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力,二、梁的载荷与支座反力,1、梁的载荷,集中力,均布载荷,集中力矩,二、梁的载荷与支座反力1、梁的载荷集中力均布载荷集中力矩,2、梁的支座反力,Ry,梁的支承方法及反力,2、梁的支座反力滑动
2、铰支1(Ry)固定铰支2(Rx，Ry,3、梁的类型,根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型,简支梁,一端固定铰支座一端活动铰支座,悬臂梁,一端固定一端自由,外伸梁,一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置,3、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型简支梁一,4、求支座反力的平衡方程,求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系,求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件,4、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标,举例说明,P,左边固定铰支座，有两个约束反力,A,B,右边活动铰支座，1个约束反力,l,举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力AB右边活动铰支座，,再以悬臂
3、梁为例,假设该悬臂梁承受均布载荷,q,l,固定端有3个约束反力,Rx,Ry,A,B,MA,建立平衡方程求约束反力,再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷ql固定端有3个约束反,9-2 剪力方程和弯矩方程,一、剪力和弯矩,与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩,9-2 剪力方程和弯矩方程一、剪力和弯矩与前面三种基本变,剪力与截面平行，用Q表示,弯矩作用面在纵向对称面内,用M 表示,剪力与截面平行，用Q表示弯矩作用面在纵向对称面内用M 表示Q,剪力和弯矩正负号的规定,剪力正负号,对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负,弯矩正负号,Q,Q,M,M,M,M,正,负,正,负,使梁
4、下凹为正，向上凸为负,剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号对所截截面上任一点的力矩顺时,二、截面法求剪力和弯矩,P1,P2,RAy,A,B,RAx,RB,P1,RAy,a,a,M,Q,对截面中心建立力矩平衡方程,m,m,RAx,二、截面法求剪力和弯矩P1P2RAyABRAxRBP1RAy,剪力方程,弯矩方程,某截面的剪力等于该截面一侧段上所有切向外力的代数和。且顺时针外力产生正剪力。,某截面的弯矩等于该截面一侧段上所有切向外力对该截面形心之矩的代数和。且向上外力产生正弯矩。,剪力方程弯矩方程某截面的剪力等于该截面一侧段上所有切向外力的,说明：,1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。,2、如果不求
5、剪力，可以不建立 y 方向的平衡方程。,3、弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。,说明：1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。2、如果不求剪,求图示简支梁 x 截面的剪力、弯矩,两种方法求解剪力和弯矩,求图示简支梁 x 截面的剪力、弯矩lqABqRAyMQ两种方,三、剪力图和弯矩图,将弯曲内力即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示,例如上面的受均布载荷的简支梁,弯矩画在受拉侧,三、剪力图和弯矩图将弯曲内力即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用,可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线抛物线,弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有,l,q,A,B,可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直
6、线，弯矩最大值在梁的中点,l,q,A,B,ql/2,ql/2,lqABql/2ql/2,（1）列剪力方程和弯矩方程,（2）画剪力图和弯矩图,悬臂梁AB,（1）列剪力方程和弯矩方程（2）画剪力图和弯矩图悬臂梁AB,所示为一简支梁，作此梁的剪力图和弯矩图。,(1)求支座反力,所示为一简支梁，作此梁的剪力图和弯矩图。(1)求支座,(2)列剪力方程和弯矩方程,AC段:,(0 x a),CB段：,(2)列剪力方程和弯矩方程AC段:(0 x a)C,(3)画剪力图和弯矩图,集中力使剪力图突变,集中力使弯矩图折曲,AC段:,(0 x a),CB段：,M,Q,Pb/l,Pa/l,Pab/l,(3)画剪力图和弯
7、矩图集中力使剪力图突变集中力使弯矩图折,（1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,例题9-1 设一简支梁AB，在C点处有矩为M0的一集中力偶，作此梁的剪力图和弯矩图。,（1）求支座反力（2）列剪力方程和弯矩方程例题9-1,（3）画剪力图和弯矩图,集中力偶使弯矩图突变,集中力偶不使剪力图变化,Q,M,Ma/l,Mb/l,（3）画剪力图和弯矩图集中力偶使弯矩图突变集中力偶不使剪力图,（1）求支座反力,（2）列写弯矩方程,例题9-2 一简支梁AB，在中点C处作用一集中力P，在B端有一矩为M0的集中力偶。做此梁的弯矩图。,（1）求支座反力（2）列写弯矩方程例题9-2,第九章弯曲变形课件,9-3 分
8、布载荷q、剪力Q和弯矩 M之间的微分关系,9-3 分布载荷q、剪力Q和弯,略去二阶微分,略去二阶微分,（1）q=0，Q=常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线）（2）q=常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三点连抛物线）。（3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线。剪力Q 为零的截面M具有极大值。（4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变值等于集中力或集中力偶矩的值）,（1）q=0，Q=常数，为一水平线。M 为 x,项剪力图 弯矩图 q=0 剪力
9、为常数弯矩为一次Q0Q0q,例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷q，自由端作用一个qa/的集中力，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。,+,-,+,_,qa/,Rc,q,A,B,D,C,xD,2a,a,Mc,3qa/,xD,qa/,D,例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷q，自由端作,9-4 弯曲时梁的正应力,纯弯曲与剪切弯曲中性层和中性轴弯曲正应力分布规律弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,9-4 弯曲时梁的正应力 纯弯曲与剪切弯曲,各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。,各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称
10、为剪切弯曲。,1、变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。,1、变形几何关系中中,中性层和中性轴,中性层,梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。,对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。,中性轴,中性层与横截面的交线。,梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。,如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短,正应变为零,中性层和中性轴 中性层 梁弯曲变形时，既不伸,应变规律,应变规律,2、物理关系,弯曲正应力分布规律,与中性轴距离相等的点，正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,2
11、、物理关系弯曲正应力分布规律 与中性轴距离相等的点，正应,弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；,弯矩为负时，正应力上拉下压；,中性轴上，正应力等于零。,弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为负时，正应力,3、静力学关系分析,没有轴向力,3、静力学关系分析没有轴向力M,中性轴必然通过横截面的形心,质心坐标,静矩，面积矩,中性轴必然通过横截面的形心质心坐标静矩，面积矩,抗弯刚度,抗弯刚度,横截面上某点正应力,该点到中性轴距离,该截面弯矩,该截面惯性矩,横截面上该点到中性轴该截面弯矩该截面惯性矩,弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：,WZ 称为抗
12、弯截面模量，Z 为中性轴.,矩形截面,Z,b,h,实心圆截面,Z,d,弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯,惯性矩的计算,1、简单截面的惯性矩,矩形截面,惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩矩形截面,圆形与圆环截面,实心圆,空心圆,圆形与圆环截面实心圆空心圆,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,如右图所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（1）作弯矩图，求最大弯矩,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面
13、上的弯矩,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，其值为,（2）求最大应力,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力,梁的强度条件,梁的最大正应力梁的强度条件,梁的强度条件梁的最大正应力,1、梁的最大正应力,梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,1、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最,2、梁的强度条件,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定
14、许可载荷,2、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量,如图所示：圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力=140MPa。,q,300,300,1400,A,B,C,D,危险截面在轴的中部,利用截面法求该截面弯矩,q,RAy,M,700,300,由对称性可求得：,如图所示：圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC,如图所示：悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？,b,h,h,b,q,根据弯曲强度条件,同样载荷条件下，工作应力越小越好,因此，WZ 越大越好,梁立置
15、时：,梁倒置时：,立置比倒置强度大一倍。,注意：Z 轴为中性轴,如图所示：悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，,9-5 梁的最大剪应力,一、矩形截面弯曲剪应力,关于横截面切应力分布规律的假设：,侧边上的切应力与侧边相切,切应力沿 z 的方向均匀分布-同一 y 处,9-5 梁的最大剪应力一、矩形截面弯曲剪应力关于横截面切,二.圆形截面梁的剪应力公式,三.剪应力强度条件,二.圆形截面梁的剪应力公式三.剪应力强度条件,例题：如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽高比为b：h=3：4，跨度为l=2m，两钢轨的间跨（轨距）为1.6m，钢轨传给枕木的压力为P=98KN，若枕木的许用应力
16、a，=205MPa，试设计此枕木截面尺寸。,max=Pa,Qmax=P,+,+,-,+,+,A,C,B,D,例题：如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽高比,解：由题意和上图得出,由强度条件,截面系数,所以,解：由题意和上图得出由强度条件截面系数所以,取h=26cm，又,故取b=26cm,根据最大剪应力校核,由条件,得出,取h=26cm，又故取b=26cm根据最大剪应力校核由条件得,所以,而,因此设计的截面应为2821cm2,所以而因此设计的截面应为2821cm2,弯曲变形习题,弯曲变形习题,ACDBE,A,B,C,q=10 kN/m,Q,M,1.33,2.67,0.27,0.36,ABCq=10 kN/mQM1.332.670.270.3,A,B,C,10 Nm,Q,M,50 N,10 Nm,ABC10 NmQM50 N10 Nm,A,C,q,Q,M,0.28,3/4,5/4,1,0.5,ACq QM0.283/45/410.5,A,B,C,q,Q,M,5/6 qa,1,3/6,7/6,5/6 qa2,1/6,13/72,ABCq QM5/6 qa13/67/65/6 qa21/6,
