第十二章弯曲变形课件.ppt

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1、12-1 弯曲变形的概念,一、为何要研究弯曲变形,仅保证构件不会发生破坏，,但如果构件的变形太大也不能正常工作。,1、构件的变形限制在允许的范围内。,12-1 弯曲变形的概念一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不,车削加工一等截面构件，,如果构件的的变形过大，,会加工成变截面；,案例1：,车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；,如果钻床的变形过大，,受工件的反力作用；,摇臂钻床简化为刚架，,不能准确定位。,案例2：,如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不,车间桁吊大梁的变形,车间桁吊大梁的变形,车间桁吊大梁的过大变形,会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；

2、,还会引起较严重的振动；,案例3：,车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还,桥梁如果产生过大变形,楼板、,床、,双杠横梁,等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。,屋顶,案例4：,桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限,、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。,汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；,案例1：,、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲,安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS,要求其在碰撞的过程中有较大的变形,吸收落物或碰撞能量，,保证驾驶员的人身安全,案例2：,安装在工程机械驾驶室上方的ROPS

3、/FOPS要求其在碰撞的过,案例3：,当今时代汽车工业飞速发展，,道路越来越拥挤，,一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？,案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰,案例4：,蹦床,要有大变形，,才能积蓄能量，,将人体弹射到一定高度。,3、研究弯曲变形,还广泛应用于超静定问题分析、,稳定性分析,以及振动分析等方面。,除了解决构件的刚度外，,案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。,二、弯曲变形的物理量,扭转：,拉伸,弯曲变形的物理量如何？,二、弯曲变形的物理量扭转：FF拉伸弯曲变形的物理量如何？,1、挠曲线,2、挠度,向上为正,3、转角,逆时针为

4、正,截面形心在力的方向的位移,截面绕中性轴转过的角度,弯曲变形的物理量,挠度,弯曲变形的物理量,转角,+,1、挠曲线2、挠度 向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力,12.2 挠曲线的微分方程,2、挠曲线方程：,1、建立坐标系,Xoy平面,就是梁的纵向对称面；,在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；,该曲线方程为：,12.2 挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系X,3、挠度、转角物理意义,：挠度的物理意义：,挠曲线在该点处的纵坐标；,：转角的物理意义,过挠曲线上点作挠曲线的切线,该切线与水平线的夹角为,挠曲线在该点处的切线斜率；,挠曲线方程在该点处的一阶导

5、数；,转角的正方向：,从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。,3、挠度、转角物理意义：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵,4、挠曲线微分方程,中性层处曲率:,对于曲线 y=f(x)在任一点处曲率,（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）,正好为xoy平面内的一条曲线，,平面弯曲的挠曲线,所以曲线y=f(x)：,从数学上讲,是一条普通的平面曲线，,从力学上讲,就是梁发生弯曲变形的挠曲线。,4、挠曲线微分方程中性层处曲率:对于曲线 y=f(x)在,瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；,挠曲线微分方程,由于没有采用曲率的简化式，,且弹性模量E无定量结果，,挠曲线微分方程,故挠曲线微分方

6、程没有得到广泛应用。,该挠曲线微分方程是,适用于弯曲变形的任何情况。,非线性的，,瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微,5、挠曲线近似微分方程,在小变形的条件下，,挠曲线是一条光滑平坦的曲线，,，,故得挠曲线近似微分方程：,5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦,符号规定：,挠曲线近似微分方程,挠曲线为凹曲线,挠曲线为凸曲线,弯矩M与二阶导数,符号一致。,适用范围：,线弹性、小变形;,y轴向上，x轴向右；,符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线,挠曲线的近似微分方程,积分一次：,转角方程,积分二次：,挠曲线方程,C、D为积分常

7、数，由梁的约束条件决定。,12.3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C,悬臂梁：,梁的边界条件,L,悬臂梁：x梁的边界条件L,简支梁：,L,梁的边界条件,简支梁：xL梁的边界条件,连续性条件：,边界条件,光滑连续性条件,连续性,光滑性,连续性条件：CPABaLx边界条件光滑连续性条件连续性光滑,连续性条件：,特别强调,在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。,连续,不光滑,连续性条件：ABLaCMx特别强调在中间铰两侧转角不同，但,例1：写出梁的边界条件、连续性条件：,x,边界条件,光滑连续性条件,例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xkCPABa

8、L边界条,例2：写出梁的边界条件、连续性条件：,边界条件,光滑连续性条件,例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条,讨论：挠曲线分段,（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；,（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；,讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）,（4）凡分段点处应列出连续条件；,根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；,讨论：挠曲线分段,在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。,边界条件,连续性条件,（4）凡分段点处应

9、列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一,例1悬臂梁受力如图所示。求 和。,x,取参考坐标系,1、列写弯矩方程,2、代入挠曲线近似微分方程中,积分一次：,积分二次：,转角方程,挠曲线方程,例1悬臂梁受力如图所示。求 和。x,3、确定常数C、D.,边界条件：,3、确定常数C、D.边界条件：AqBL,4、计算A截面的挠度和转角,A截面处,AqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处,例2 一简支梁受力如图所示。试求 和。,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,b,BC段,AC段,x,x,CFABaLx例2 一简支梁受力如图所示。试求,3、代入各自的挠曲线近似微分方程中,4、各自积分,3、代入各

10、自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分,5、确定积分常数,边界条件：,连续条件：,5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLx,BC段,AC段,7、求转角,6、挠曲线方程,BC段AC段7、求转角6、挠曲线方程,8、求。,求得 的位置值x。,8、求。求得 的位置值x。,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,代入 得：若,12.4 用叠加法求弯曲变形,一、叠加原理,在小变形，,是线性的；,材料服从胡克定律的情况下，,挠曲线的近似微分方程,对应于几种不同的载荷，,是线性的；,弯矩可以叠加，,近似微分方程的解也可以叠加。,计算弯矩

11、时，使用变形前的位置,12.4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加原理在小变形，是线性,设弯矩,挠曲线,分别满足各自的近似微分方程,将两个微分方程叠加,分别计算出每一载荷单独引起的变形，,将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形,叠加原理。,总的近似微分方程：,证明,设弯矩 挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分,二、叠加原理的限制条件,叠加原理仅适用于线性函数，,要求挠度、转角是载荷的线性函数。,(1)、弯矩与载荷成线性关系;,梁发生小变形，,忽略各载荷引起梁的水平位移；,梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；,即梁处于小变形条件下;,二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，

12、要求挠度,几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，,三、叠加原理的特征,等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。,几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于,例1 已知：q、l、EI，求：yC,B,载荷叠加法（查表法）,应用于多个载荷作用的情形,例1 已知：q、l、EI，求：yC,B 载荷叠加法（查,C,B,1、载荷分解,C,B1、载荷分解qlql2q,2查表：单独载荷作用下,qlql2q2查表：单独载荷作用下,3、变形叠加,3、变形叠加,例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?,例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?L/2L,qL/2L/2q

13、CBAqq,qq,w,第二类叠加法,1将梁的挠曲线分成几段;,逐段刚化法,2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;,3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。,在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，,除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。,第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别,例3：,用叠加法确定C?,1）考虑AB段变形引起的截面的挠度,(BC段看作刚体),外力向研究的段上简化,F,F：作用在支座上，不产生变形。,Fa：使AB梁产生变形。,例3：用叠加法确定C?ABalFC1）考虑AB段变形引,F,Fa引起梁的变形形状为,段

14、上凸；,ABalCFFaFa引起梁的变形形状为段上凸；,2）考虑BC段变形引起C截面的挠度,a,AB段看作刚体,C截面的总挠度,2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚,讨论,积分法求变形有什么优缺点？,叠加法求变形有什么优缺点？,讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？,多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩,静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数,4-3=1 度 静不定,5-3=2 度 静不定,12.5 简单静不定梁,多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力 与多余约,选 Fby

15、为多余力,变形协调条件,物理方程,补充方程,平衡方程,一度静不定,例,综合考虑三方面,求梁的支反力,选 Fby 为多余力变形协调条件物理方程补充方程平,判断梁的静不定度,用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁所谓相当系统,计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程,由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力,相当系统,通过相当系统计算内力、位移与应力等,求解依据综合考虑三方面,求解关键确定多余支反力,分析方法与步骤,相当系统,判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约束的作用，得受,例 求支反力,解：1.问题分析,水平反力忽略不计，2多余未知力,2.解静

16、不定,例 求支反力解：1.问题分析水平反力忽略不计，2多余未,弯曲变形的刚度条件：,许用挠度，许用转角,工程中，常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,12.6 梁的刚度校核,弯曲变形的刚度条件：许用挠度，许用转角工,1、求自由端的挠度与转角,1、求自由端的挠度与转角PqL,2、求自由端的挠度与转角,P2P1qLL2、求自由端的挠度与转角,3、求简支梁中点的挠度,3、求简支梁中点的挠度qL/2C,4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。,4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料

17、的弹性模量为E，求,12.7 提高梁强度和刚度的措施,一、改善结构、减少弯矩,、合理安排支座；,、合理安排受力；,、集中力分散；,、一般与跨度有关，,、增加约束：,故可减小跨度；,12.7 提高梁强度和刚度的措施一、改善结构、减少弯矩、,尾顶针、跟刀架或加装中间支架；,较长的传动轴采用三支撑；,桥梁增加桥墩。,增加约束：,采用超静定结构,尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增,采用超静定结构,采用超静定结构,改变支座形式,改变支座形式FF,改变载荷类型,q=F/L,F,改变载荷类型q=F/LF,二、选择合理的截面形状,A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，,工字形、槽钢等

18、；,起重机大梁常采工字形或箱形截面；,二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，,起重机大梁常采工字形或箱形截面；,起重机大梁常采工字形或箱形截面；,四、不宜采用高强度钢;,三、加强肋,盒盖、集装箱；,各种钢材大致相同。,四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材,1、y=M(x)/EI在 条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；,2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最大。A：挠度 B：转角；C：弯矩；,1、y=M(x)/EI在 条件下成立？,3、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。A：减小集中

19、力P；B：增加梁的跨度；C：采用优质钢；D：提高截面的惯性矩,3、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。A,4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：=My/IZ,y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？A：正确、正确；B：正确、错误；C：错误、正确；D：错误、错误；,4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：,5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？,5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载,6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：。A：热处理；B：选用优质合金钢；C；增大直径；D：提高

20、表面光洁度；,7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，。A：仅提高强度；B：仅提高刚度；C：强度、刚度均有提高；,6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗,P,8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？,9、写出边界条件与连续性条件。,PxabyP8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？9、写,10、写出边界条件。,xyqEI,LEA,a10、写出边界条件。,11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?,11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点,12、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨度

21、为1：2。则二梁的最大挠度之比。,12、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨,13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程为y=-ax3。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷？绘梁的剪力图与弯矩图。,13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程,14、图示中的悬臂梁，载荷P可沿梁自由移动。若使载荷移动时梁总保持相同的高度，问：事先应将梁弯成怎样的曲线？,14、图示中的悬臂梁，载荷P可沿梁自由移动。若使载荷移动时梁,15、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI，q为均布载荷的集度。求：最大弯矩及最大剪力。梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。,15、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为=qx(L3,小结,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念,2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,3、掌握提高粱的弯曲刚度的措施,小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分,