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1、3、李雅普诺夫稳定性分析,在分析由状态方程描述的控制系统的稳定性中，李雅普诺夫稳定性分析具有重要的作用。这种方法有以下几个优点：第一，有可能在不解出状态方程式解的条件下确定系统的稳定性。第二，能求解线性或非线性，定常或时变系统的稳定性。特别是因为用其他方法求解非线性系统和（或）时变系统状态方程时较困难，所以这种方法就显出较大的优越性。虽然运用李亚普诺夫第2方法需要有相当的经验和技巧,然而当其他方法无效时，这种方法却能解决一些非线性系统的稳定性问题。,3、李雅普诺夫稳定性分析在分析由状态方程描述的控制系统的稳定,（1）李雅普诺夫函数,李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一次偏导数在域
2、 中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数总是为负定（或负半定）。,设状态方程式为设 为李亚普诺夫函数，其中 是状态方程的解,定义李亚普诺夫函数的差分运算为,（1）李雅普诺夫函数李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个,假定存在标量函数,并在 上连续，且有：，对所有 当 时，也达到无穷,对所有,在李雅普诺夫第2方法中，李亚普诺夫函数 和它对差分运算 的符号特征为我们提供了判断平衡状态处稳定性的准则，而不必直接求出方程的解。,假定存在标量函数,并在,（3）李亚普诺夫不稳定性定律设离散系统为,若存在标量函数，在 上连续，若。若在有限范围内，不是正半定的，即，则系统是不稳定的。当 时，对所有，不是正半定的
3、，则响应是无界的。,（3）李亚普诺夫不稳定性定律若存在标量函数，,解：取李亚普诺夫函数为,可见，对所有，是正定的 而函数 从上式可见，对所有，是负定的，故该系统是渐近稳定的。,例4.9 设离散系统为试判断该系统的稳定性？,解：取李亚普诺夫函数为 上式可见，是不定的，故该系统的稳定性判断无结果。,从上式可见，是不定的，因此，不能应用李雅普诺夫稳定性定理，进行该系统的稳定性判别。现转向应用李雅普诺言夫不稳定性定律进行判断。,例4.9 设离散系统为,取李雅普诺夫函数为,令 函数为（4.31）从上式可见，对，的所有值，为负定的.,从（4.32）,比较（4.31）式与（4.32）式，得于是，从（4.31
4、）式，得,因为 是不定的，故稳定性判断仍无结果。,比较（4.31）式与（4.32）式，得因为 是不定的，,（4）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律,但对线性定常离散系统，的选择有一种简单的方法。现介绍如下。设离散系统为其中 G 为 维常数矩阵，为 n 维向量，设平衡状 态。,从上面两个例子可见，用李亚普诺夫函数来判断系统稳定性，取决于 和 的正确选择，一般来说，选择 和 是十分困难的。,若给定任意正定实对称矩阵Q，存在实对称矩阵P，使满足于是 是李亚普诺夫函数,（4）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律但对线性定常离散系统,证明：该定理的证明是基于Sylvester 定理。该定理表述为：如果 P
5、 是正定矩阵，则 是正定的，利用上述的李亚普诺夫函数，则,进一步,可得,将状态方程式 代入上式，得,例4.10 已知线性定常离散系统的状态方程为试确定系统在原点的稳定性。,选取，依照 式,李雅普诺夫稳定方程为（4.37）,从上述Sylvester定理可见：若 是负定的，则 Q 必须是正定的。反之，若Q是正定的，则 是负定的。这样平衡状态 是渐近稳定的。,如果求得的是P正定的，于是在原点 x=0 是大范围渐近稳定的。,例4.10 已知线性定常离散系统的状态方程为选取,从方程（4.37），可写成下述3个方程并可得,显然的,依照赛尔维斯特准则，矩阵是正定的。所以在原点x=0的平衡状态，系统是大范围渐
6、近稳定的。,从方程（4.37），可写成下述3个方程显然的依照赛尔维斯特准,（5）采用李雅普诺夫稳定性方法进行最优状态反馈矩阵设计,李雅普诺夫稳定性理论，可以用来设计最优状态反馈系统。设状态反馈离散系统结构图，如图4.9所示,（5）采用李雅普诺夫稳定性方法进行最优状态反馈矩阵设计李雅普,系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置 转移到平衡状态，并使某种意义上的量为最优时的反馈矩阵K。,系统的状态方程可表示为（4.38）,其中控制作用 可表示为（4.39）,假设该系统在 时是渐近稳定的。若给定一个实对称正定矩阵Q，存在着一个实对称矩阵P，并满足（4.40）,系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置 系统的,因为,作为某一种最优指标，可选最优控制作用，在某一k时刻，使下列性能指标极小，即（4.43）,因为 表示 的离散变化率，因此可以用（4.43）式表示 的性能指标极小化，即在物理意义上为最优控制。例如，可表示为 沿用轨迹的能量或距离的变化率。,将状态方程式代入上式，,得,使性能指标 为最优化，即，得，因此，可得最优控制作用即最优状态反馈增益矩阵,例4.11 系统的状态方程可表示为,其中 求最优控制,对上式求解，即,得 使性能指标 对 求偏导为零,即,得,对上式求解，即得 得,
