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1、3.3.3函数的最大(小)值与导数,如我一样，八十年代以前出生在农村的孩子，可能都有过吃油盐饭的记忆，那是一碗香味浓郁，油滑晶亮的米饭，至今仍然芬芳氛氲。这碗饭不复杂、很简单，猪油加剩饭炒之，加适量的盐，如果条件具备，撒上一点点葱花，就是一碗香喷喷的油盐饭了。少时家穷，日子紧巴，就是纯白米饭也难得吃上一顿，没菜下饭那是常有的事，这时，如果有一碗油盐饭便是我们最奢侈的美食。那时候，鄂东一带的植物油主要是菜油、棉油和少量麻油，猪油显得很宝贵。所谓猪油，就是逢年过节时，家里买回猪肉，将肥瘦分开，把肥肉切成小块放在铁锅中反复煎熬，熬出的油脂放入瓦罐中存储，只有贵客来时，才能用于炒菜或下面条。凡是用猪油
2、炒的菜、下的面条都非常好吃。用猪油炒饭的时候非常少。要么是母亲外出参加邻家的一些婚丧嫁娶活动，要么就是谁生病了，或者是获得学校的奖状之类等，只有这样的时候我们才能享受一次油盐饭的待遇，这样的一碗饭是安慰，也是奖励。母亲炒的油盐饭格外香。小时候看母亲炒油盐饭是一件很幸福、很快乐的事。每次母亲炒油盐饭时，我就会站在土灶台边。母亲一边炒，我就一边吞着口水。我看着母亲一把一把地往土灶堂里添着柴火，将铁锅烧得冒青,f(x)0,f(x)0,复习:一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,设函数y=f(x)在 某个区间 内可导，,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、函数的极值定义,设
3、函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,(2)由负变正,那么 是极小值点;,(3)不变号,那么 不是极值点。,(1)由正变负,那么 是极大值点;,2.极值的判定,观察下列图形,你能找出函数的极值吗？,观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(
4、x)的 极大值。,求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f(x)（3）求方程f(x)=0的根（4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,左正右负极大值，左负右正极小值,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函
5、数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,1最大值:,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,2最小值:,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,如何求出函数在a,b
6、上的最值？,一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；,新授课,典型例题,1、求出所有导数为0的点；,2、计算；,3、比较确定最值。,例1、,1、,解:,当 变化时,的变化情况如
7、下表:,例2、求函数 在区间 上的最大值与最小值。,令,解得,又由于,（舍去）,应用,函数在区间 上最大值为,最小值为,例3：已知函数(1)求 的单调减区间(2)若 在区间 上的最大值为,求该区间上的最小值,所以函数的单调减区间为,解:,应用,令 解得,当 变化时,的变化情况如下表:,（舍去）,最小值为,所以函数的最大值为,最小值为,拓展提高,1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？如下图：,不一定,2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,3、如果函数
8、f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,动手试试,4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为()A.-4 B.0 C.16D.20,C,解:,令 解得,所以函数的极大值为，极小值为,1、已知函数(1)求 的极值(2)当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴总有交点,当 变化时,的变化情况如下表:,练习,曲线 与 轴总有交点,所以函数的最大值为，最小值为,1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,选做题：,1.求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x)在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二、,f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,应用,(2009年天津（文）21T),答:（1）斜率为1;,(2),一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数,求函数最值的一般方法,小结：,
