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1、15.3 分式方程,一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?,解:设江水的流速为 v 千米/时，则顺水速度为_千米/时；逆水速度为_千米/时；根据题意，得,情 境 问 题,分母中含有未知数,追问1方程 与上面的方程有什么共同特征？,追问2你能再写出几个分式方程吗？,分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程,注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中,练习下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是（填序号）,（2）（3）,（1）,解得：,下面我们一起研究下怎么样
2、来解分式方程：,方程两边同乘以（30+v）（30-v），得：,在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。,探究,检验：将v=6代入分式方程，左边=2.5=右边，所以v=5是原分式方程的解。,思考:,分式方程的特征是什么？如何解刚才的分式方程？,上面分式方程中各分母的最简公分母是：(30+v)(30v)方程两边同乘(30+v)(30v)，得：90(30-v)=60(30+v)解得：v=6检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因此 v=6是分式方程的解.答：江水的流速为6千米/时.,x+5=10,解分式方程：,解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）
3、（x+5），得：,解得：,x=5,检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。,原分式方程无解。,增根,增根的定义,增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.,产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验,使最简公分母值为零的根,探究分式方程的增根原因,对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也
4、就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.,思考,1、上面两个分式方程中，为什么,去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解却不,是原分式方程的解呢？,我们来观察去分母的过程,90(30-v)=60(30+v),x+5=10,两边同乘(30+v)(30-v),当v=6时,(30+v)(30-v)0,两边同乘(x+5)(x-5),当x=5时,(x+5)(x-5)=0,分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.,分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程
5、的解.,2、怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？,将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解,思考,解分式方程：,方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：,x+5=10,解得：,x=5,检验：当x=5时最简公分母（x-5）（x+5）=0，所以x=5是增根。,原分式方程无解。,为什么会产生增根？增根产生的原因？,例1：,解分式方程的一般步骤:,1.去分母。化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.,2.解这个整式方程.,3.检验.把整式方程的解(根)代入最简公分母,若结果为零则是增根,必须
6、舍去,若结果不为0,则是原方程的根.4.写结论,概括总结,一化二解三检验,例1:,解：方程两边同乘x(x3)，得：2x=3x9 解得：x=9 检验：将x=9时x(x3)0 因此 9是分式方程的解.,分式方程,整式方程,解整式方程,检 验,转化,类似的,例2:,解：方程两边同乘(x+2)(x1)，得：x(x+2)(x+2)(x1)=3 解得：x=1 检验：x=1时(x+2)(x1)=0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解.,(2),解：方程两边同乘以,检验：把x=2代入 x2-4，得x2-4=0。,x=2是增根，从而原方程无解。.,注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验
7、根！,总结,通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗?,解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,化成_方程;解这个_方程;检验:把_方程的解代入_.如果值_,就是原方程的解;如果值_,就不是原方程的解.应当_.,整式,整式,这个整式,最简公分母中,不为零,为零,舍去,解分式方程的一般步骤：,去分母,目标,解整式方程,检验,最简公分母不为0,最简公分母 为0,注意,1.若方程中的分母是多项式,须先分解因式.再确定最简公分母.2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.,解分式方程容易犯的错误有：,(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘,(2)约去分母后，分子是多项式
8、时，没有注意添括号(因分数线有括号的作用）,(3)增根不舍掉。,例3：k为何值时，方程 产生增根？,问：这个分式方程何时有增根？,答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即x=2。,问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用这个条件求出k值？,答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等于2时可求出k值。,例3：k为何值时，方程 产生增根？,把x=2代入以上方程得：,K=1,所以当k=1时，方程 产生增根。,k为何值时，分式方程,无解？,例4：,方程两边都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(
9、x-1)=0解，得,当x=1时,原方程无解，则k=-1,当k=-2时，k+2=0,原方程无解,当x=-1时，k值不存在,当k=-1或k=-2时，原方程无解,解：,“增根”是你可以求出来的，但代入后方程的分母为0无意义，原方程无解。“无解”包括增根和这个方程没有可解的根,思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？,1.当m=0时，方程 会产生增根吗？,思考：,3.当m为何值时，方程 会产生增根呢?,2.当m=1时，方程 会产生增根吗？,教师指导小结,1、解分式方程的思路是：,分式方程,整式方程,去分母,2、解分式方程的一般步骤：,一化二解三检验,1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.,
