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1、1,1,2,3,5,8,13,21,34,斐波那契数列,吕孙忠,这与“斐波那契数列”有关,若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：,1,1,2,3,5,8,13,时代大背景,中世纪晚期的数学家可分成两类，一类来自教堂或者大学的教士，另一类来自商人。前者被称为经院派学者，他们信奉基督教和亚里士多德的权威为基础的学说，以研究希腊著作为主。,斐波那契属于第二类学者，他是一个商人，在商业贸易中学到东方数学，因此斐波那契的数学风格与演绎式的希腊数学传统有很大不同。中世纪早期，欧洲数学曾是占星术的一部分，也是教会用来训练神学说理的最好学科，数学与神秘主义
2、结合在一起的传统在中世纪晚期依然存在，很多数学家都将数学应用于魔法和占星术，但斐波那契脱离了这个模式，他的计算之书中很难找到神秘的痕迹。在数学发展的特殊时期，斐波那契站在了欧洲数学复兴的起点之上。,斐波那契,地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，觉得使用阿拉伯数字比罗马数字更有效,协助父亲工作，于是他就学会了阿拉伯数字.,现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲；,父亲是商人,比萨的来昂那多(1175年1250年），意大利数学家.,西方经济贸易、科技文化交流的枢纽,斐波那契生平,出生于意大利的比萨,小时候喜欢算数,东方国家的数学,埃及、叙利亚；希腊（拜占庭）；西西里和普罗旺斯,发表了著名的算
3、盘书,15,斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。,不定分析和数论方面,（1）传播印度数学阿拉伯数字（2）计算之书（3）几何实用（4）平方数书,在数论史中，贡献介于丢番图和费尔马之间。,同余数,计算之书,马丁玲.斐波那契计算之书研究D.上海交通大学,2009.,计算之书,斐波那契协会和斐波那契季刊,斐波那契1202年在算盘书中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然
4、活跃起来，成为热门的研究课题。,大背景,斐波那契协会,斐波那契季刊,有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”,斐波那契数列的由来,1.兔子问题,斐波那契的算盘书,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,示意图,Your text here.,Your text here.,解答,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,因此，斐波那契问题的答案是 144对。以上数列，即“斐波那契数列”，其中的任一个数，都叫斐波那契数。,斐波那契数列公式,第n个月,斐波那契数列
5、的通项公式,通项公式,作者,一个正整数序列的通 项，然可以用带 有无理数的式子 表达，这是十分意外的结果。,法国数学家比内,模周期数列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,第3、6、9、12等项的数字能被2整除。第4、8、12等项的数字能被3整除。第5、10等项的数字能被5整除。其余依此类推。,纯周期数列！,模周期数列,袁明豪.Fibonacci数列的模数列的周期性J.数学的实践与认识,2007,03:119-122.,其他性质,相邻两项互素,下标素质,等等,其他性质,1张国杰.关于斐波那契数列倒数的无限和D.西北大学,2012.,2白晓玺.斐波那契数列在数据变换方面
6、的应用J.科协论坛(下半月),2009,03:95-96.,3周湖平,李阳华.赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题J.中学教研(数学),2013,01:48-50.,4李文捷.用母函数法推导斐波那契数列的通项公式J.芜湖职业技术学院学报,2012,01:43-45.,特征方程理论,特征方程应用举例,1宋庭武.用特征方程推导斐波那契数列的通项公式J.安庆师范学院学报(自然科学版),2010,04:91-92.,从斐波那契数列体味数学文化,要善于从生活中发现问题,解决问题，首先要明确概念，提炼其精髓,采取合适的方法（如列表）是关键,善于总结，从而得出一般规律（递推公式）,斐波那契数列是从兔
7、子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命 发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现,数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起,斐波那契数列的应用,动、植物,走楼梯，游戏,股票，黄金分割等。,人类走楼梯,如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？,人类走楼梯,第1格,第3格,第n格,第2格,容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,斐氏数列与游戏,一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小
8、块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目的！,那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列的奥妙所在！,自然界中的斐波那契数,树杈,花瓣,动物,植物,斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。,2，,海棠（2）,铁兰（3）,3，,5,洋紫荊（5）,蝴蝶兰（5）,黃蝉（5）,13,雏菊（13）,雏菊（13）,树枝的分
9、叉,13853211,向日葵中的螺线,向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。,松果种子的排列,雄蜂家系与斐氏数列,众所周知，一般动物都有父亲和母亲，但雄蜂是例外，它只有母亲没有父亲，养过蜜蜂的人都知道，蜂后产的卵，若能受精则孵化成雌蜂；如果不受精，则孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母无父。雌蜂是有父有母的。因此，我们若追溯一只雄蜂的祖先，则可以发现其第n代的祖先数目刚好就是斐氏数列的第n项Fn.,股票,1
10、934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。,同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。,注意这儿的2、3、5、8、13均系斐波那契数列中的数。,植物的利用,这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直
11、到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。,菜花表面排列的螺线数（5-8）,科学家们对自然界中的很多斐波那契现象还在不断地研究之中。,第二黄金比,1/1,3/2,8/5,2/1,5/3,斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列的极限为黄金比的倒数，称为第二黄金比,01,02,03,著名天文学家开普勒说：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿。,0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值,黄金分割,黄金分割之所以
12、称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”,分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。,黄金分割,两千年前，希腊数学家考虑如下问题：,设线段 AB，,在 AB 上找一点 C，,使得,令,于是有,可化为一元二次方程,该方程的根为,称为黄金分割数,01,黄金矩形,02,黄金三角形,黄金分割,03,人类审美,04,自然界中的,自然界中的0.618,图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之比,蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹！,动、植物等.,大自然,统一美.,数学应用,思考等活动,人类,数学与人类,统一美,4,斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。,妙哉，数学！,5,拓展内容,1 特征方程,2 不动点理论,3 迭代方程理论,Thank you for listening,斐波那契,
