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1、第十一章 弯曲应力,最基本常见的弯曲问题,对称弯曲,对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是平面弯曲。,11-1 引 言,11-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,纯弯曲,横力弯曲,Fa,.纯弯曲时梁横截面上的正应力,几何方面,表面变形情况纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。,平面假设 梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵向对称轴的某一轴转动。,即中性轴,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必
2、有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。,中性层,中性轴,中性层与横截面的交线就是中性轴。,r 中性层的曲率半径,物理方面单向应力状态下的胡克定律,不计挤压，即认为梁内各点均处于单向应力状态。当s sp，且拉、压弹性模量相同时，有,即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。,静力学方面,即中性轴 z是形心轴。,对称弯曲时此条件将自动满足。,得,得,这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。,思考：发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线？,弯曲正应力计算公式,中性轴 z 为横截面的对称轴时,称为弯曲截面系数,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,简单截面的弯
3、曲截面系数,矩形截面,圆形截面,空心圆截面,(4)型钢截面：参见型钢表,式中,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,.纯弯曲理论的推广,横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。,弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h 5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,Fl,4,例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。,375 kN.m,M,解：1、作弯矩图如上，,2、查型钢表得,56号
4、工字钢,3、所求正应力为,或根据正应力沿梁高的线性分布关系的,梁的正应力强度条件,由于smax处t=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力s=152 MPa。试选择工字钢的号码。,解：1、支反力为,作弯矩图如上。,单位：kNm,2、根据强度条件确定截面尺寸,与要求的Wz相差不到1%，可以选用。,查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值,例 图示槽形
5、截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力 st=30 MPa，许用压应力 sc=90 MPa。试求梁的许可荷载F。,解：1、梁的支反力为,据此作出梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,2、计算最大拉、压正应力,注意到,因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,而,考虑截面B：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,11-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,、梁横截面上的切应力,推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程,分离体的平衡,横截面上切应力分布规律的假设,横截面
6、上弯曲切应力的计算公式,一、矩形截面梁,横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。,面积AA1mm 对中性轴 z的静矩,而横截面上纵向力的大小为,纵截面上水平剪力值为,要确定与之对应的水平切应力t 还需要补充条件。,矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律,(1)由于梁的侧面为t=0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；(2)对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。,窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：,(1)横截面上各点处的切应力均与侧边
7、平行；,(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。,根据切应力互等定理,推得：(1)t 沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为t 没有变化。,根据前面的分析,即,又,由两式得,其中：FS 横截面上的剪力；Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩；b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；,矩形截面梁弯曲切应力计算公式,横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,矩形横截面上弯曲切应力的变化规律,t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。,二.工字形截面梁,1、腹板上的切
8、应力,腹板与翼缘交界处,中性轴处,z,y,O,tmax,tmin,2、翼缘上的切应力,a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y 轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力,(1)平行于y 轴的切应力,可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。,(2)垂直于y 轴的切应力,即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。,且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。,z,y,O,tmax,tmax,tmin,t1max,、梁的切应力强度条件,一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=
9、0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。,梁的切应力强度条件为,材料在横力弯曲时的许用切应力,对等直梁，有,m,q,G,ql/2,梁上smax所在点处于单应力状态，其正应力强度条件为,梁上任意点G 和H 平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。,E,m,m,l/2,q,G,H,C,D,F,l,ql/2,横力弯曲梁的强度条件：,强度足够,确定截面尺寸,验证,设计截面时,例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其=170MPa，=100
10、MPa。试校核该梁的强度。,解 计算反力得,FS(kN),x,80,20,30,70,x,M(kNm),120,150,105,最大弯矩为,E,C截面弯矩为,FS(kN),x,80,20,30,70,x,M(kNm),120,150,105,但未超过s的5%，还是允许的。,当 l h 时，smax tmax,弯曲正应力与弯曲切 应力比较,11-4 梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制强度条件：,MWz,l,F,l,4,F,Fl,4,l,4,l,2,Fl,8,Q 合理安排加载方式尽量分散载荷,D,Q 合理安排约束,配重降低最大弯矩作用分析,Q 加配重,趣味小问题：两人带了一块长度超过沟
11、宽的板，但一人在沟中点时的弯矩已刚好超过板强度，这两人能想出办法过沟吗？,办法：一人作配重,二、合理选取截面形状,1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。,让材料远离中性轴：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等,为防止切应力破坏，腹板也不能太薄,2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc。,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,若梁的
12、各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。,变宽度等强度梁工程应用实例汽车钢板弹簧,（1）矩形截面（2）圆形截面,讨论：对于矩形与圆形截面，分析有何不同？,例：已知，校核图示悬臂梁的强度。,11-5 双对称截面梁的非对称弯曲,在H点，两外力引起的最大拉应力叠加，在H点，两外力引起的绝对值最大的压应力叠加，故为危险点。,解：对于矩形和圆形截面，危险截面均为A,（1)矩形截面，危险点分析：,解：（2）圆形截面 危险截面亦为A,思考：下述解答是否正确？,判断关键：两向最大应力是否能叠加？,圆形截面分析：,力F1最大拉应力发生在截面顶端，F2最大拉应力发生在截面右侧，不能叠
13、加，故,不正确！,问题研究：最大应力不能叠加，怎么办？,圆的关于任意直径的对称性，弯矩可以合成,最大应力发生在圆截面的右上一点,11-6 拉伸(压缩)与弯曲,包括：轴向拉伸(压缩)和弯曲 偏心拉（压）1.横向力与轴向力共同作用,对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。,上图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵对称面内有横向力F和轴向拉力Ft共同作用，以此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算。,在拉力Ft作用下
14、，杆各个横截面上有相同的轴力FN=Ft,拉伸正应力t在各横截面上的各点处均相等,在横向力F作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力,按叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力,值为,正应力沿截面高度的变化情况还取决于b、t值的相对大小。可能的分布还有：,Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。,危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。,2.偏心拉伸(压缩)当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，
15、即为偏心拉伸或偏心压缩。,如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。,以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为 e(称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.,将偏心拉力 F 用静力等效力系来代替。把A点处的拉力F向截面形心O1点简化，得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey、Mez。,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。,在任一横截面n-n上任一点 C(y,z)处的正应力分别为,轴力FN=F 引起的正应力,弯矩My=Mey 引起的正应力,弯矩Mz=Mez 引起的正应力,按叠加法，得C点的正应力,A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、My=FzF，Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：,按叠加法叠加得,可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为,危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为,
