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1、,第六章 截面图形的几何性质,6-1 截面的静距与形心位置,第六章 截面图形的几何性质,6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩,6-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积,6-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩,为什么要研究截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,惯性矩与惯性积的移轴定理,惯性矩与惯性积的转轴定理,形心主轴与形心主惯性矩,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,静矩、形心及其相互关系,第6章 截面的几何性质,结论与讨论,为什么要研究截面的几何性质,第6章 截面的几何性质,不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。,为什么要研究截面的几何性
2、质,重心和形心的坐标公式,1.重心坐标的一般公式,右图认为是一个平面力系，则,P=Pi,合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理,即,于是有,同理有,工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y(本节中的x轴就是以前我们所用的z轴)的一些几何性质，例如：,惯性矩(moment of inertia),惯性积(product of inertia),6-1 截面的静距与形心位置,1.静矩,I-1 截面的静矩和形心的位置,2.形心,3.形心与静矩的关系,图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；
3、某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。,例6-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。,解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，,所以,4、组合图形的形心与静矩,（1）组合图形的静矩,（2）组合图形的形心,解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,例6-2 求图示图形的形心。,由于对称知：xC=0,x,y,例6-3 试确定下图的形心。,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,第6章 截面的几何性质,图形对 y 轴的惯性矩,图形对 z轴的惯性矩,图形对 y z 轴的惯性积
4、,图形对 O 点的极惯性矩,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,图形对 y 轴的惯性半径,图形对 z 轴的惯性半径,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,0,0 或,0,0,0,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IP,例 题 2,解：取圆环微元面积,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,已知：矩形截面b h求：Iy，Iz,解：取平行于x轴和y轴的微元面积,例 题 3,第6章 截面的几何性质,惯性矩、极惯性矩、惯性半径,惯性矩与惯性积的移轴定理,移轴
5、定理（parallel-axis theorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。,惯性矩与惯性积的移轴定理,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的移轴定理,y1=ya z1=zb,已知：Iy，Iz，Iyz,求：Iy1，Iz1，Iy1z1,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的移轴定理,y1=ya z1=zb,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的移轴定理,如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的SySz0,惯性矩与惯性积的移轴定理,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的移轴定理,因为面积及
6、包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。,a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的移轴定理,惯性矩与惯性积的转轴定理,第6章 截面的几何性质,所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。,惯性矩与惯性积的转轴的概念,惯性矩与惯性积的转轴定理,第6章 截面的几何性质,一、惯性矩和惯性积的转轴公式,转轴公式：,注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。,惯性矩与惯性积的转轴定理
7、,第6章 截面的几何性质,已知：Ix、Iy、Ixy、a，求、。,利用三角变换，得到,得到,公式推导：,惯性矩与惯性积的转轴定理,第6章 截面的几何性质,惯性矩与惯性积的转轴定理,第6章 截面的几何性质,如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principal axes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal moment of inertia of an area）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。,惯性矩与惯性积的转轴定理,第6章 截面的几何性质,可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴
8、的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。,形心主轴与形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:,形心主轴与形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,形心主轴与形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,第6章 截面的几何性质,形心主轴与形心主惯性矩,图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，如坐标原点与形心重合,通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩
9、，简称为形心主矩。,形心主轴与形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,第6章 截面的几何性质,形心主轴与形心主惯性矩,有对称轴截面的惯性主轴,Iyz=(yizidA-yizidA)=0,当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。,第6章 截面的几何性质,形心主轴与形心主惯性矩,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。,组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法,第6章 截面的
10、几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,求截面形心主惯性矩的基本思路,、建立坐标系。,、求形心位置。,、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，,、求形心主轴方向 0,45,例 试确定下图的形心主惯性矩。,解：1、图形分割及坐标如图,2、确定形心坐标,46,3、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。,47,4、求形心主轴方向 0,48,5、求形心主
11、惯性矩,例 题 12,已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,解：1将所给图形分解为简单图形的组合,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,2.建立初始坐标，确定形心位置,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,Iy0=Iy0()+Iy0(II),3.确定形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,Iz0=Iz0()+Iz0(),3.确定形心主惯性矩,第6章 截面的几何性质,组合图形的形心主轴与形心主惯性矩,例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩,图形的对称中心
12、C为形心，在C点建立坐标系xCy如图,将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图,整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为,如图所示图形，求形心主惯性矩Ixc。,解：,（2）求形心位置。,（3）求：IxC,例3,（1）建立坐标系如图。,（3）求：IxC,在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。(b=1.5d),解：（1）建立坐标系如图。,（2）求形心位置。,（3）建立形心坐标系；求：IxC，IyC，I xCyC,d,b,2d,例4,d,b,2d,x,O,xC,yC,x1,C,附录,【例I-7】已知图中截面的形心为C，求形心主轴Z主惯性矩。,方法1：把整个截面分为面积A1,A2,A3如下
13、：,方法二：截面可看出整个矩形减去蓝色图形的面积,附录,：,【思考题】求正方形截面Z轴的惯性矩和对原点O的极惯性矩。,附录,例I-8 求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。,则,结论与讨论,第6章 截面的几何性质,平面图形几何性质小结,一、简单图形的静面矩,静面矩的几个规律：,图形对过形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面矩 为零，则此轴一定过图形的形心。,图形对对称轴的静面矩一定为零。,二、简单图形的形心,重点,形心确定的规律：,（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。,（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。,三、组合图形的静面矩：,四、组合图形的形心：
14、,五、简单图形的惯性矩,重点,简单图形惯性矩的计算,圆形截面：,矩形截面：,六、简单图形的惯性积,规律：,两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。,重点,67,七、惯性矩、惯性积的平移轴公式,八、组合图形的惯性矩、惯性积：,注意：ZC、YC 必须是形心坐标。a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，有正负之分。,重点,九、转轴公式：,重点,十、主平面、主惯性矩的确定,难点,2、主惯性矩：,图形对主轴的惯性矩。Iz0、Iy0为图形中惯性矩的最大和最小值。,3、形心主惯性轴（形心主轴）：,如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izc
15、yc=0。且zc、yc为形心轴。zc0、yc0为形心主轴）。,4、形心主惯性矩：,图形对形心主轴的惯性矩。（Izc0、Iyc0）。,十一、几个概念：,1、主惯性轴（主轴）：,如果图形对某一对坐标轴的惯性积为零，则此对轴为主惯性轴。（Iz0y0=0，z0、y0轴为主轴）。,、建立坐标系。,、求形心位置。,、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，,、求形心主轴方向 0,、求形心主惯性矩,十二、求截面形心主惯性矩的基本思路,已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面
16、的形心C在x，y坐标系内的坐标为,.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为,于是有,注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有,同理可得,以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。,.组合截面的惯性矩及惯性积,若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为,x,例题-6 图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy。,解：由型钢规格表查得：,25c号槽
17、钢截面,90 mm90 mm12 mm等边角钢截面,形心位置如图所示,形心位置如图所示,1.求组合截面的形心位置,组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标：,于是有距离,2.利用平行移轴公式求Ix和Iy,槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：,顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。,思考题:图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩Iy并说明理由：,谢谢大家！,第六章结束,
