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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?,下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数,如下表所示:,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是:,从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:,当 时,其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,(1)对称性,与首末两端“等
2、距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴:,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,由于:,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,由:,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。,可知,当 时,,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,(3)各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中,令,则:,这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:,同时由于,上式还可以写成:,这是组合总数公式,一般地,展开式的二项式系数 有如下性质:,(1),(2),(3)当 时,,(4),当 时,,课堂练习:
3、1)已知,那么=;2)的展开式中,二项式系数的最大值是;3)若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则n=;,例1 证明在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例3:的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申:1、的展开式中,系数绝对值最大的项是()A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项2、若 展开式中的第6项的系数最大,则不含x的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416,例4、若 展开式中前三项系数成等差 数列,求(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有x 的有理项;
4、(3)展开式中系数最大的项。,1、已知 的展开式中x3的系数 为,则常数a的值是_,2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是()A.-297 B.-252 C.297 D.207,3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_,课堂练习,4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12,求n.5.已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106,求x的值.,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,