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1、湍流理论和湍流模型,西北工业大学2012年3月,许和勇,绕圆柱的理想流动：,(a)无升力流动,(b)有升力流动1,(c)有升力流动2,(d)有升力流动3,0Re4,4Re40,40Re190,3.5*105Re3*106,103Re2*105,绕圆柱的真实流动(P257)：,Re=1.54,Re=26,Re=140,粘性流体运动的两种流态-层流和湍流雷诺实验：1883年圆管内流动实验层流：管中水流稳定地沿轴向运动，流线之间层次分明、互不掺混，流体质点没有垂直于主流方向的横向运动；湍流：流体作复杂的、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流;,上临界流速：层流变湍流下临界流速：湍流变层流,流动为层流
2、,流动为不稳定的过渡状态,流动为湍流,工程上，将下临界雷诺数作为流态的判断依据。,1.1 湍流的不规则性,湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数,在不规则湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大于层流扩散。,随机变量的概率,随机变量的概率密度,1.2 湍流的统计,随机变量：湍流速度变量u的实数集合，可表示为 u()事件集合：相同边界条件下不同初场演化出的所有流场状态系综：所有可能实现的事件集合举例：在相同边界条件下，N个真实初始条件产生N个实验流场（理论
3、上N可以无穷大）是一个系综，其中某一次实验称为一个事件。概率的定义：规定全系综的测度为1，则随机变量u的概率P(x)定义为一切ux事件的测度M，又称为累积概率，可写作,概率密度的定义：如果累积概率P(x)是可微函数，则它的导数定义为概率密度，并用p(x)表示，即,累积概率可表示为,联合概率：两个随机变量的累积概率,联合概率密度：如果联合概率函数是可微的，则可定义联合概率密度函数为,随机函数（或随机过程）的概率和概率密度：是随机变量中相应定义的推广，可以对每一时刻 t 给出u(,t)的概率,概率密度为,随机函数的联合概率,湍流的统计量,平均值：随机变量u依概率密度p(u)的加权积分称为u的期望值
4、，在湍流中 称为系综平均值,全系综平均：,随机函数或随机过程u(,t)的期望值或平均值是确定性变量t的函数，因为,系综平均是确定性量，即，通过统计平均，不规则的信息已经全部消失，所以，系综平均可以看作一种低通过滤运算。,脉动值：随机变量u和它的期望值或平均值之差是随机变量，称为涨落，在湍流中称为脉动,脉动量的平均值等于零，因为,统计矩：随机变量u的n次幂的期望值或平均值称为随机变量u的n阶统计矩，在湍流中，称为n阶自相关量,特征函数：概率密度的傅里叶变换称为随机变量的特征函数K(z),已知特征函数K(z)，通过傅里叶逆变换，可以求出概率密度,自相关是用统计方法表示随机函数u(,t)在不同时刻之
5、间的关系。确切地表示不同时刻的脉动的联系程度可以用自相关系数，定义为,随机函数的自相关函数：随机函数u(,t)在时刻t和时刻t的乘积的统计平均值，称为随机函数u(,t)的时间自相关函数，并用Ruu(t,t)表示,或者,性质：,平稳过程：如果随机过程的自相关函数Ruu(t,)只和时间间隔有关，则 称它为平稳过程，平稳过程有如下定理。,各态遍历定理：设随机函数的涨落,是平稳过程,即,且有,，则应有,该定理表示平稳过程中随机变量的系综平均等于随机过程的时间平均，这一性质称为随机过程的各态遍历。意义：一次实验中u的时间序列几乎取尽了系综中所有可能出现的值。定常湍流：在时间历程上平稳过程的系综平均不仅可
6、以用长时间平均来取代，而且平均值和时间无关，因此，可以把这种平稳过程简称为定常湍流。,空间自相关,如果随机变量和空间变量有关，则称它为空间上的随机过程，一般可以写作,，例如，圆管中湍流的脉动可写作,不同空间位置x1,x2上随机变量的自相关称为空间相关，空间自相关函数为,通常，令x2=x1+，则,如果x1=x2,或=0,则空间自相关函数等于变量u的2阶矩,即,它又称为一点空间自相关。,空间平稳过程的体积平均,如果两点空间相关函数Ruu只和两点的相对位置有关，而和两点本身的空间位置无关，则称这种随机过程为空间平稳过程。,即当,时，称,为空间平稳过程。,类似于时间平稳过程中各态遍历定理，可证明,令,
7、，代入上式后得到,意义：空间平稳态中某一次实验在空间的分布值几乎遍历随机变量全系综的所有可能状态。空间平稳态的湍流称为均匀湍流。从动力学角度来看，完全均匀湍流必然是衰减的，但是有不少近似均匀湍流的例子，例如，风洞工作段的核心区。,小结：,一般情况下，湍流量的平均量是指系综平均,在定常湍流中，可以用长时间平均取代系综平均,在均匀湍流中，可以用体积平均取代系综平均,时空自相关函数：例如，脉动速度的2阶时空自相关公式为,湍流的互相关函数：不同随机函数之间乘积的统计平均。湍流运动中流体速度ui、压强p、温度等都是随机函数。例如，两个速度分量u1,u2之间的2阶时空相关函数记作,为简单起见，规定：（1）
8、在以后系综平均表达式中，随机函数中表示系综事件的变量不再明确写出。（2）相关函数中的随机函数均指脉动函数，即平均值等于零的随机函数。,1.3 湍流脉动的谱,1.3.1 时间平稳态中的频谱定义：时间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的频谱。,2阶脉动速度的时间相关函数,可变换到频率空间的,脉动速度频谱,其逆变换为,当=0时,Suu()表示湍动能在频带中的分布，它在所有,频段上的积分等于湍动能的系综平均或时间平均值。,时间相关函数与频谱是一一对应的，它们是统计量在时域和频域之间的转换。,1.3.2 均匀团流场中的波谱定义:空间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的波数谱，简称波谱或谱。,脉动速度
9、的2阶相关函数,的波谱为,其逆变换为,当=0时,波谱 Suu(k)表示脉动动能在波数段(k,k+dk)中的分布。,是波数向量，,是单位向量。,空间相关函数与波谱函数是一一对应的，它是统计量在物理空间和波数空间之间的变换。,小结：,（1）频谱表示湍流脉动量在时间尺度上的分布 频谱中高频成分表示快变的脉动（时间尺度小的脉动）低频成分表示慢变的脉动（时间尺度大的脉动）（2）波谱表示湍流脉动量在空间尺度上的分布 波谱中高波数成分表示长度尺度小的湍流脉动 低波数成分表示长度尺度大的湍流脉动总之,湍流脉动的谱(频谱和波谱)可以表示湍流脉动强度在各种尺度上的分布.,1.5 湍流脉动的测量原理,湍流脉动的时间
10、序列具有宽频带，测量仪器准确、响应特性好。测量点的脉动速度的时间序列测量方法：热丝风速计法、激光多普勒测速法脉动场的脉动速度的时间序列测量方法：统称为粒子图像测速法(PIV,paticle image velocimetry),数据采集的要求测量精度：仪器精度+电子系统的高信噪比和宽频带的频率响应特性采样频率：假如湍流脉动的最高频率为fh，则采样频率至少为2fh 假如需要测量脉动量的n阶矩，则采样频率至少需要2nfh,条件采样和统计方法,思路：根据一定的准则检测湍流信号，当湍流信号满足条件准则时，开始记录一组或几组信号，然后对记录的数据进行统计分析。,例如，湍流边界层外层，速度脉动并非始终具有
11、很高的强度，而是间歇性地出现高强度脉动。最简单的条件采样时湍流间歇因子的测量。,示性函数：,间歇因子：,湍流状态平均值和非湍流状态平均值：,2.0 Navier-Stokes equations 推导 取一质量为m的极小的运动流体单元为研究对象，对其运用牛顿第二定律:F=m a首先，分析其x方向的分量方程:Fx=m ax,第二章 湍流运动的基本方程,充分小的运动流体单元 x 方向受力示意图,称为随体导数或全导数，,称为局部导数或当地导数。,标量型N-S方程，Frenchman M.Navier and Englishman G.Stokes,1845年,Stokes假设,连续方程,对于不可压流
12、动，满足:,为常量，,N-S方程的张量形式，不可压、不考虑体积力,N-S方程的张量形式，不可压、考虑体积力,为便于使用笛卡尔张量标记，记,，,则可以把矢量a改写成,矢量a用张量表示成 ai(i=1,2,3)，即为 指标表示法,，此简化表示法即为“求和约定”。自由指标、哑指标,将方程化为量纲数为1的方程，引入特征速度v0、特征长度L0、特征时间t0、特征压力p0，定义量纲数为1的量:,代入得,即,两边同除以,得,斯特劳哈尔(Strouhal)数,非定常项与惯性项之比,弗劳德(Froude)数,惯性力和重力之比,欧拉(Euler)数,压力与惯性力之比,雷诺(Reynolds)数,惯性力和粘性力之比
13、,克努森(Knudsen)数,Kn=l/L0,l是气体分子平均自由程，L0是流场特征长度。Kn是气体稀薄程度的度量。大Kn数有两种可能：一是气体稀薄，分子平均自由程大，如几千米高空；而是微流场，此时流场的特征尺度小于或相当于分子的平均自由程。,马赫(Mach)数,Ma=v/c,v是流场中某点速度，c是当地声速。Ma数是流场可压缩程度的量度，c无穷大对应不可压缩流动，Ma0.3时，一般要考虑压缩性影响。,普朗特(Prandtl)数,Pr=cp/k,cp是比定压热容，k是导热系数。Pr数是动量交换和热交换之比，大多数气体Pr小于但是接近1。,韦伯(Weber)数,We=v2L/,是表面张力。We数
14、是惯性力与表面张力之比，在大液面曲率如毛细流动、空化起始等过程中很重要。,湍流运动的基本方程,2.1 Navier-Stokes方程和湍流,层流向湍流过渡现象是N-S方程初边值问题解的性质在变化：层流是小雷诺数下N-S方程初边值问题的唯一解；过渡流动(转捩)是N-S方程的分岔解；高雷诺数的湍流是N-S方程的渐近(t)不规则解。,2.2 雷诺方程和脉动运动方程,雷诺平均方程2,雷诺平均方程1,脉动运动方程,2.3 雷诺应力和雷诺应力输运方程,湍流运动动量通量的平均值=平均运动的动量通量+脉动动量通量的平均值,(不可压流动，密度恒定),雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别：雷诺应力 粘性应力
15、分子运动平均自由程 湍流脉动最小特征尺度产生机制不同,(1)设想有一层厚度为的湍流剪切层，流向脉动速度u1是平均速度U的10%左右，横向脉动速度u2较u1小一个量级，所以典型雷诺应力,平均分子粘性应力的量级可估计为,二者比值,在高雷诺数时，,，二者比值达到102的量级。,(2),(3),计算NACA2412翼型绕流的以下参数:(a)后缘处的边界层厚度；(b)翼型的表面摩擦阻力系数。流动条件为：攻角为0度，翼型弦长为1.5米，基于弦长的雷诺数Rec=3.1*106。由右图的实验数据曲线中可知，0度攻角时翼型阻力系数为0.0068。,(4)边界层厚度及摩擦阻力系数计算,小于实验测量值0.0068，
16、仅为22%,因此，用全层流计算结果不准确。,层流计算：,全湍流计算,实验值0.0068为“摩擦阻力+压差阻力”之和，实际摩擦阻力小于0.0068，所以全湍流的计算预测值偏大较多,考虑转捩的计算（假设转捩临界雷诺数Rex,cr=5*105）:,考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值0.0068。,比实验测量值偏大。,注意：如果按照公式直接计算 x2 段的湍流摩擦系数，有较大偏差。,转捩雷诺数扩大一倍后，摩擦阻力系数减小16.2%,如果转捩临界雷诺数增大为1*106，则有,对于流线型翼型，摩擦阻力与压差阻力的比值（Cd=Cf+Cp）估算：,文献CFD计算结果：NACA0012翼型，Re=3*106，
17、加入转捩模型，Cd=0.00623，Cf=0.00534 Cf/Cd=85.7%Cp/Cd=14.3%,上例近似计算结果：NACA2412翼型，Re=3.1*106，加入转捩模型，Cd=0.0068，Cf=0.0063 Cf/Cd=92.6%Cp/Cd=7.4%,Lombardi,G.,Salvetti,M.V.and Pinelli,D.Numerical Evaluation of Airfoil Friction Drag,Journal of Aircraft,2000,37(2):354-356,2.3.2 雷诺应力输运方程,2.3.3 湍动能输运过程,2.3.4 雷诺应力输运过程,
18、假定二维平均流的速度分布为,，其雷诺输运方程为,2.3.5 脉动压强分布和压强变形率相关的解析表达式,2.3.6 湍流统计方程的封闭性讨论,雷诺方程中出现了雷诺应力项(2阶速度相关)在雷诺应力输运方程中又出现了更高阶的统计相关量如果进一步通过N-S方程导出高阶相关量的演化方程，则将出现更高阶的相关量(4阶以上)结论：从N-S方程导出的湍流统计方程是永远不封闭的。湍流统计理论的主要任务：研究统计方程的封闭方法。,2.4 不可压缩湍流的标量输运方程-传热和传质,运动方程与温度或浓度无关，即标量场是由速度场确定的，而没有标量场对速度场的反馈作用。这种标量疏运过程，称为被动标量输运。,2.6 涡量的输
19、运与湍流,流体质点变形率张量,拟涡能方程,定义,称为拟涡能,脉动涡量方程,脉动涡量的拟涡能方程,湍流生成项的主要来源是涡管的伸长小尺度湍流是由湍涡拉伸产生的脉动涡量的拉伸时维持湍流的主要机制,湍流的一般定义和描述,1）湍流场中的流体仍可视为连续介质；2）物理量呈连续变化，即在空间上和时间上是可微的；3）可采用描述一般流体运动的方法来建立湍流场数学模型；4）湍流场满足N-S方程5）19世纪初以来，“湍流是一种完全不规则的随机运动”雷诺首创用统计平均方法来描述湍流运动6）20世纪70年代开始，“湍流并不是完全随机运动，存在一种可检测和显示的拟序结构，亦称大涡拟序结构”，仍存争议7）大多数人观点：由
20、各种大小和涡量不同的涡旋叠加而成，某些情况下，流场作完全随机运动；另一些情况下，流场随机运动和拟序结构并存。,湍流的统计平均,瞬时值记为 A,平均值记为,(1)时间平均,T为时间平均的周期，即要求比湍流脉动周期大得多，以保证得到稳定的平均值，又要求比流体做非定常运动时的特征时间小得多，以免取平均后，抹平整体的非定常性。,(2)空间平均,(3)条件采样平均 规定一个条件准则，对符合该准则的数据进行平均,例如规定一个检测函数,湍流信号,层流信号,则流场处于湍流时的平均为,则流场处于层流时的平均为,对于瞬时量、平均量、脉动量的运算法则如下：,对于湍流场速度而言，,，而,表示湍流强度。,不可压缩湍流平
21、均运动的基本方程,（1）连续方程,（2）动量方程-雷诺平均运动方程,，由连续方程,湍流的雷诺平均运动方程,与对应的层流运动方程相比，多了最后一项，该项中的,称为雷诺应力,是唯一的脉动量项，所以可以认为脉动量是通过雷诺应力来影响平均运动的。,由连续方程,圆管中充分发展的层流和湍流,N-S方程张量形式,（一）圆管中的层流,层流中流体质点只有沿轴线的流动u，而无横向运动，所以v=w=0.假设管道水平放置，直径不大，管中具有一定压力，所以重力可以忽略。,流动恒定，u不随x和t而变，只是y和z的函数，即,所以,，只有左右均等于同一常数才能成立。,是长度为 l 的水平直管上的压降。,所以,因为管中流动是对
22、称于x轴的，所以采用圆柱坐标系来分析更为方便，,由于,又因为速度u的分布是轴对称的，所以,或,积分两次，可得,边界条件：r=0时，u为有限值，得C1=0；r=d/2时,u=0,得,所以,圆管层流的速度分布规律，对称于管轴的抛物体。,（二）圆管中的湍流,湍流场质点间相互混杂、碰撞，导致运动状况极其复杂。对湍流的研究往往是在某些特定条件下，对观测到的现象作某些假定，从而建立有局限性的半经验理论，再通过大量实验结果进行修正补充，得出湍流的半经验规律。,（1）脉动与时均流动,利用热线风速仪或激光测速仪来测定湍流流速变化规律。质点的真实流速是无规律且瞬息万变的，这种现象称为脉动。,每次实验在一个长的时间
23、内平均后的速度值相同，为时均值。当湍流场中任一空间点上的运动参数的时均值不随时间（这里的时间是指湍流流动的某一过程，而不是时均参数定义中所选定的某一很小的时间段T）变化时，称为定常湍流流动，或称为准定常湍流，否则称为非定常湍流。时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。注意：时均化的概念及准定常湍流流动，完全是人为提出的一种模型，而湍流实质是非定常的。因此在研究湍流的物理实质时，如研究湍流切应力及湍流速度分布结构时，就必须考虑脉动的影响。,(2)湍流流动中的附加切应力-雷诺应力,粘性产生的切应力+因质点混杂而形成的附加切应力,脉动流入b层的流体质量,动量变化量=切向力的冲量,脉动流体所受的
24、脉动切向力,脉动流体m对b层流体的脉动切向力,a、b两层流体之间的脉动切应力,雷诺应力时均值,从上往下脉动时，雷诺应力大于零,从下往上脉动时，雷诺应力大于零,湍流运动中的总的切应力,混合长度理论示意图,（3）普朗特混合长度理论,把湍流脉动与气体分子运动相比拟。（涡粘假设）粘性切应力由分子动量交换引起；假定脉动引起的附加切应力也为相同形式：,混合长度理论在于建立湍流运动中的附加切应力与时均流速U之间的关系。引入了一个与分子平均自由程相当的长度 l，质点在走了 l 长度后与新位置的质点掺混，完成动量交换。,混合长度理论假定：在y层处，由于流体质点的横向运动所引起的x方向湍流脉动速度u的大小为：,也
25、称为涡黏度,当流体质点从上层或下层进入所讨论的那一层时，它们以相对速度u相互接近或离开，由流体连续性原理可知，它们空出来的空间位置必将由相邻的流体质点来补充，于是引起流体的横向脉动v，两者相互关联，因此u与v的大小必为同一量级，故：，,湍流粘性系数,脉动引起的附加切应力(雷诺切应力),一般来说，混合长度不是常数,横向脉动和纵向脉动符号相反:,代入相关式子，得,将 c 归并到尚未确定的 l 中去,可表示成,，,简单剪切湍流,近代湍流研究的重大进展之一：发现剪切湍流中存在拟序结构。湍流脉动并非完全不规则的随机过程，而是在不规则的脉动中包含可辨认的有序大尺度运动。剪切湍流：壁湍流，即壁面附近的剪切湍
26、流，例如槽道、圆管、边界层湍流；自由剪切湍流，例如射流、混合层、远场尾流。简单剪切湍流：平均剪切流动是平行流动或准平行流动。,研究雷诺数很高的壁湍流，,H是直槽宽度之半,或圆管半径,或边界层的平均名义厚度,Um是平均特征速度。,设定坐标系：x为流动方向，y为垂直壁面方向，z为平均流动的展向进一步假定直槽沿展向无限长，流向单位长度上的平均压降是常数，则 平均运动是定常的单向平行直线运动：=U(y)i1 脉动速度场在流向和展向都是统计平均的 壁面上的速度等于零：无论是平均速度还是脉动速度都为零,1、平均运动方程,(4.1a),(4.1b),(4.1c),(4.1b),(4.1a),当 y=0时,C
27、=0(壁面切应力),是分子粘性应力和雷诺应力之和，称为总切应力，它是y的线性函数。,在槽道的对称轴上(y=H)，由于平均运动的对称性，分子粘性应力和雷诺应力都等于零，于是有,在壁湍流中用壁面切应力定义壁湍流的速度尺度，称为壁面摩擦速度,平板 Cf 范围（0.0030.006）,(3.95.5)10-2,2、等切应力层,等切应力层可以进一步分为：线性底层+对数层,(1)线性底层(粘性底层),(2)对数层和对数律（等雷诺应力层）,下面讨论近壁等雷诺应力层中的统计特性,在贴近壁面区，湍动能耗散和扩散相平衡；在稍离壁面且远离中心的流动区域中，扩散项几乎可以忽略，生成项和耗散项相平衡,在壁湍流中存在一个
28、湍动能生成和耗散相平衡的区域。,由于平衡区远离中心区，可以用壁面参数表示速度梯度、雷诺应力、湍动能耗散率的无量纲式如下：,(4.9a),(4.9b),(4.9c),(4.8a),(4.8b),(4.8c),积分式(4.9a)，得到平均速度的对数分布(湍流的壁面律):,（1）粘性底层内，流体质点没有混杂，故切应力主要为粘性切应力，附加切应力近似为零。粘性底层内速度梯度可认为是常数。,，它具有速度的量纲，称为壁面摩擦速度，则,（2）粘性底层外，湍动剧烈，粘性影响可以忽略不计。,普朗特假设在近壁处混合长度 l 与离壁面的距离y成正比，即 l=ky。根据尼古拉兹的实验证明，这个规律可以扩展到整个湍流区
29、域。此外还假设在整个湍流区内切应力也为常数，则,设,湍流边界层结构图,(1)线性底层，该层内粘性应力远大于雷诺应力。,当地雷诺数,u+是量纲为1的速度，则,说明速度随 y 线性变化，所以称线性底层，由实验得出，该层范围为,(2)对数律层由实验结果，当y+40以后，雷诺切应力与壁面切应力 大致相等且近似为常数，可见粘性切应力可以忽略，其速度分布为,式中的C为常数，对光滑壁C约为5.0-5.2,为卡门常数，一般取0.4-0.41。上式说明速度随 y 的增长呈对数关系增长，这就是对数率，满足对数率关系的区域也成为对数律层。在粘性底层和对数律层之间，平均速度分布既非线性的，也非对数的，因为这里分子粘性
30、应力和雷诺应力属同一量级。介于粘性底层和对数律层之间的流动区域成为过渡层，过渡层很薄，工程实用上，常常不计过渡层，而用线性分布和对数律分布组合成内层的平均速度分布。对于直槽湍流，可应用如下的平均速度分布：,，,对于高雷诺数绕流的雷诺平均求解方法，近壁湍流边界层很薄，实际数值计算时，壁面网格只能达到等应力区外缘。另一方面，从壁面到等应力区的边缘（y+=30）湍流统计量有剧烈的增加，任何数值方法都无法在一个网格中近似这种急剧变化。这时只好放弃数值积分到真实壁面，而是在离开壁面的第一层网格上用壁面函数作为边界条件，或者说，将雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，这时需要用到壁面函数。,壁面律,推导近壁平
31、均速度对数分布律的理论依据是存在等切应力层；而且在雷诺数很大时还存在等雷诺应力层。只要壁面切应力为有限值，上式对于任意平行于壁面的湍流运动都适用，因此上式称为湍流的壁面律。计算中可以用上式的壁面律代替固壁无滑移条件，即将计算域的第一层网格设置在等应力层中，用上式作为边界条件。壁面剪应力的特征量是摩擦速度，它隐含于边界条件中，在数值求解中通过迭代求出。必须指出，上述壁面律只适用于附体边界层。,当壁面摩擦速度很小时，既要求,，又要求,的条件不能满足，,这时壁面律就不再成立。特别是，接近流动的分离点处，壁面切应力,，即,，不能应用以上壁面律来计算平均流速分布。,湍流数值模拟方法,直接数值模拟(DNS
32、,Direct Numerical Simulation)雷诺平均数值模拟(RANS,Reynolds Averaged Navier-Stokes)大涡数值模拟(LES,Large Eddy Simulation),雷诺应力的封闭模式不可能是封闭的，而小尺度脉动对大尺度运动的统计作用可能是普适的。,直接数值模拟,直接数值模拟的意义：可以获得湍流场的全部信息，而实验测量只能提供有限的流场分布 可以获得实时的流动演化过程，是研究湍流控制方法的有效工具 可以评价已有湍流模型，研究改进湍流模型的途径,直接数值模拟的要求：要求有很高的时间和空间分辨率 要求有足够多的样本流动或足够长的时间序列 要求计算
33、机内存大、速度快,空间分辨率,一维网格数至少应满足以下不等式,Kolmogorov耗散尺度,而,所以,当,三维总网格数 N 应满足,时，就要求网格数N=109。,时间分辨率,时间步长必须满足CFL条件,积分长度,总计算步数,大涡数值模拟,大涡数值模拟的思想：大尺度脉动通过计算直接求解 小尺度脉动通过模式进行求解,大涡数值模拟的基本步骤：第一步，将小尺度脉动进行过滤 第二步，推导出大尺度运动的控制方程 第三步，通过适当的模型对小尺度脉动进行封闭,脉动的过滤：谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器 谱空间滤波和物理空间滤波的变换,经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动ui和剩余脉动ui之
34、和,低通脉动将由大涡数值模拟方法解出，因此称为可解尺度脉动剩余脉动称为不可解尺度脉动或亚格子尺度脉动。,在讨论系综平均过程时，有以下性质：系综平均值的再平均等于系综平均值 脉动系综平均等于零 系综平均和空间求导过程可以交换,注意：一般情况下，物理空间的过滤运算不存在以上性质，即,特别是最后一个不等式使得大涡模拟控制方程比较复杂。只有均匀过滤过程存在过滤运算和求导的可交换性。非均匀过滤时，需要设计专门的过滤器才能保证过滤和求导的可交换性。,大涡模拟的控制方程和亚格子应力,假定过滤过程和求导过程可以交换，将N-S方程作过滤，得到如下方程：,令,并称,为亚格子应力，则,上式和雷诺方程有类似的形式，右
35、端含有不封闭项,称为亚格子应力。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运。要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式。,湍流的模式理论,该方程比层流方程多了最后的雷诺应力梯度项，使得方程组不封闭而无法求解。因此，需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式，这就是湍流模式理论的由来。所谓湍流模式理论就是，根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，以使得方程组封闭求解的理论。,湍流场的动量方程-雷诺平均运动方程：,湍流粘性系数,涡粘性系数，与运动粘度 有相同量纲,根据普朗特混合长度理论,在内
36、层，有,在外层，有,y是距壁面的距离,yc是内外两层具有相同涡粘性系数值的点与壁面的法向距离。,零方程模式是直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，所以也称代数模式，又称一阶封闭模式。下面以Baldwin-Lomax零方程模型为例。,（一）零方程模式,参考文献：Baldwin,B.and Lomax,H.,“Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flow,”AIAA 78-257,1978.,Fmax是函数,的最大值。,ymax即为 Fmax时的y值。,udif 是在给定 x 站位处的速度最大
37、值与最小值之差，即,转捩对湍流的影响通过下述方法实现：当计算的,小于某一,给定值时，令,，亦即若,时，,各常数值为：,(Clauser常数),Spalart-Allmaras模型是从经验和量纲分析出发，在伽利略（Galilean）不变性原理和分子粘性选择性相关方法的基础上“拼凑”出来的。这种“拼凑”虽然缺乏完备的理论基础，但是却包含了丰富的经验信息。S-A模型具有良好的鲁棒性和数值收敛性，它可以很好地模拟绝大部分的附着流动和薄层自由剪切流动。,参考文献：Spalart P R and Allmaras S R.A One-Equation Turbulence Model for Aerody
38、namic Flows.AIAA Paper 92-0439,1992.,一方程模式需要求解一个偏微分方程。下面以Spalart-Allmaras模型为例。,在S-A模型中，湍流粘性系数定义为:,其中，,的量纲为“米*米/秒”）,（由,出发，得,（二）一方程模式,是计算湍流粘性系数的工作变量，它满足下面的传输方程,a.扩散项扩散项定义为,为了避免对,项的离散，上述式子可以分解为两项,，量纲为(mm/s/m)2,，左式量纲为(mm/s/s),b.生成项,生成项与旋度有关,其中,是阻尼项，表达式为,c.破坏项,边界层内，在距离物面的某一位置上，物面的阻塞影响是通过压力项感受到的，因此破坏项中出现了
39、距离物面的距离 d，该项定义为,是一个壁面函数，它依赖于特征长度 r，表达式为,量纲为(mm/s*m/s/m),，量纲为(mm/s/m)2,d.移动项,此项在给定转捩位置的情况下使用，如果计算的流动状态是完全湍流的，那么该项可以去掉。,因此，传输方程可以写成,根据实质导数公式和,的定义，上式进一步简化为,，量纲为(m/s)2,将非守恒型的方程变为守恒型的方程，得,以上各式中的系数取定方法如下,，,，,，,，,，,，,，,，,S-A模型的无量纲化处理,与流动控制方程的无量纲化一致，取来流音速,、来流温度,物体特征长度,、,为参考量。无量纲化处理时，方程两端分别除以,，得,方程的后三项均为,的类似
40、形式，只需考虑,的无量纲化处理，,因此，经过无量纲化处理以后的方程化为,对方程的两边取体积分，并利用高斯公式可得,S-A模型的数值求解,湍流模型求解与N-S方程组的求解可采用“松耦合”的方式，即在同一次时间推进中它们的求解是相对独立的。S-A湍流模型方程的对流项和耗散项采用中心格式进行有限体积离散。,这样，在第 i 个网格单元上有,（左端第一项）,（左端第二项）,（右端第一项）,（右端第二项）,（右端第三项）,（右端第四项）,经过上述空间离散后，湍流模型方程可以写为下面的半离散形式,其中，,是湍流模型方程的残值项。,采用隐式欧拉方法进行时间离散求解，表达式如下，,将方程右端的残值项进行一阶泰勒
41、展开，略去高阶项后得到,式中的偏导数,可以通过数值求解雅可比矩阵的方法求得，即,其中,为一个很小的正数，一般取,经过整理后，方程变为,这个方程采用高斯-赛德尔迭代进行求解。,边界条件方面，固壁面边界上,；自由流处,。,初始条件可将,取定为自由流的值。,（三）二方程模式(标准 k-模式),k-模式是在涡粘模式的基础上发展起来的，它和代数模式的主要区别是在于k-模式的涡粘系数包含部分历史效应。具体来说，它把涡粘系数和湍动能及湍动能耗散联系在一起。,湍动能耗散率的输运方程为,用量纲分析，涡粘系数可以写成,在湍流模式中，湍动能耗散是最难构造准确模型的。通常采用的模式是依据类比方法，基本思想是：湍动能耗
42、散的生成、扩散以及消耗等项与湍动能方程中的对应项（生成、扩散和耗散）有类似的机制和公式。,k-方程的封闭方程为,参考文献：Abid,R.,“Evaluation of Two-Equation Turbulence Models for Predicting Transitional Flows,”International Journal of Engineering Science,Vol.31,pp.831-840,1993.,（四）二方程模式(k-模型),参考文献：Wilcox,D.,Turbulence Modeling for CFD,DCW Industries,Inc.,La
43、Canada,California,1993.,湍流粘性系数为,式中,相关常数为,（五）二方程模式(Menter SST 模型),Menter 使用一个混合函数将和模型优缺点进行综合，克服了各自的缺点，得到了一种更鲁棒的湍流模型，通常称为Menter SST模型。物面附近，混合函数趋于0，模型趋于方程；远离物面则趋于1，模型趋于方程。相对而言，模型提高了强压力梯度的预测精度，增强了压力引起的边界层分离的计算能力。,Menter SST模型的湍流涡粘系数为,Menter SST模型方程可以写成,参考文献：Menter F.R.Two-Equation Eddy-Viscosity Turbule
44、nce Models for Engineering Applications.AIAA Journal,1994,32:1598-1605.,其中基本常数为,其它常数的计算方法是,式中,（六）雷诺应力模式,雷诺应力模式简称为RSM（Reynolds Stress Model）。由于雷诺平均运动方程所包含的雷诺应力为一未知数，所以最直接的办法是建立雷诺应力 的方程。,得到,的步骤：,（1）把 N-S 方程化成,的形式,（2）将瞬时速度表示成平均速度与脉动速度之和,（3）代入,形式的方程，再减去平均运动的形式,，即可得,雷诺应力,的方程为：,，,式中已标明了相应的物理意义。,课程考查试题（1）由张量表达形式的N-S方程出发，推导雷诺平均运动方程。（2）从流体微元物理运动的角度，简要推导湍流流动中附加 切应力-雷诺应力的表达形式。（3）简要推导基于普朗特混合长度理论建立的湍流粘性系数 表达式。（4）简述二维湍流边界层的结构。（5）简要对比分析各种湍流模型。,Thank you！,
