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1、,退出,第 8 章逻辑代数基础,本 章 前 言,退出,主要要求:,8.1 数制与编码,理解数制间的转换,了解编码组成和分类,8.1.1 数制及数制间的转换,一、数制(计数的方法),(1)十进制(Decimal)表示方法(xxx)10 或(xxx)D 或XXXD,例如:312.25=3102+1101+2100+210-1+510-2,09数码系数,10i十进制的权,10称为基数,退出,(2)二进制(Binary)表示方法(xxx)2 或(xxx)B或XXXB,例如:(1011.11)2=123+022+121+120+12-1+12-2,推广:任意一个二进制数N都可以用按权展开式表示为(通式)
2、:(N)2=(Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K020+K-12-1+K-m2-m),退出,二进制数的算术运算规则,例如:1010.101+111.01,10001.111,退出,(3)八进制(Octal)和十六进制(Hexadecimal),退出,进制,表示方法,计数规律,基数,数码,权,八进制,十六进制,0 7,0 9、A、B、C、D、E、F,(xxx)8 或(xxx)O,(xxx)16 或(xxx)H,8,16,8i,16i,逢八进一，借一当八,逢十六进一，借一当十六,二、数制间的相互转换（一个数从一种进位制表示变成另一种进位制表示）,按权展开求和,方法：,(1011.11
3、)2=123+022+121+120+12-1+12-2=8+0+2+1+0.5+0.25=11.75,方法：,整数和小数分别转换 整数部分：除 2 取余法（由下到上）小数部分：乘 2 取整法（由上到下）,退出,例：将十进制数(47)10转换成二进制数。,用除2取余法过程如下:,读数顺序,所以得，(47)10=(101111)2,注意：一般地，对于十进制数转换为任意进制整数，方法为“除基取余，直至商为0，注意确定高低位”。,退出,例：将十进制数(0.84375)10转换成二进制数。,用乘2取整法过程如下:,所以得，(0.84375)10=(0.11011)2,读数顺序,注意：计算过程可 能无限
4、进行下去；一般根据精度要求“乘基取整，取有效位，注意确定高低位”即可。,退出,此外，如果一个数既有整数又有小数部分，则可用“除基取余”及“乘基取整”的方法分别对整数部分和小数部分进行转换，然后合并起来即可。例如(17.25)10=17+0.25,10001,0.01,+,(10001.01)2,(3)二进制与八进制间的相互转换,退出,例:将二进制数10111.01转换成八进制数。,二进制 0 1 0,1 1 1.0 1 0,补0,补0,2 7.2,所以得,(10111.01)2=(27.2)8,例:(53.21)8=(?)2,解:(101 011.010 001)2=(53.21)8,退出,例
5、:将二进制数101111.11转换成十六进制数。,二进制 0010,1111.1100,2 F.C,所以得,(101111.11)2=(2F.C)16,退出,例:(3BE5.97D)16=(?)2,(3BE5.97D)16=(0011101111100101.100101111101)2,可见,用八进制和十六进制比用二进制书写更简短,易读,便于记忆，而且与二进制的转换也非常方便，因此在数字系统和计算机中原始数据经常用八进制和十六进制书写，而在数字系统和计算机内部，数则是用二进制表示的。,退出,退出,8.1.2 编 码,用若干位二进制数按一定的组合方式(即码制)组合起来以表示数(包括大小和符号)
6、和字符等信息这就是编码。,码制(编码方式),数的编码,字符的编码,有符号数,无符号数,退出,1.数的编码,(1)无符号数,二进制编码,码值与二进制表示的数值相等,例:129(十进制无符号数)的二进制编码为10000001B,BCD码,常见的BCD码有:8421,2421码等;其中8421BCD码最常用,它是用4位二进制数表示1位十进制数,每位都有固定的权值分别为8,4,2,1,用若干位二进制数表示1位十进制数的编码方法,又称为二-十进制编码,Decimal,Coded,Binary,退出,8421码与十进制数的对应关系,退出,(150)10=()8421BCD=()2=()8=()16,用 B
7、CD 码表示十进制数举例：,(36)10=(0011 0110)8421BCD,(4.79)10=()8421BCD,(01010000)8421BCD=()10,0100.01111001,50,注意区别 BCD 码与数制：,000101010000,10010110,226,96,退出,(2)有符号数(正负数),有符号数在用二进制编码表示时,通常把二进制码的最高有效位作为符号位,其余位来表示数值;例如,一个字长为8的二进制码,由高位到低位依次是D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0,则D7是符号位,0表示正,1表示负;其余代表数值位。,a.原码 最高有效位作为符号位,其余位来表示数
8、值,b.反码 正数的反码与原码相同,负数的反码是将其正数 的原码按未取反得到的,例如:D=90,其原码为D原=01011010B D=-90,其原码为D原=11011010B,8位二进制原码能表示的数值范围是-127127,退出,c.补码 正数的补码与原码相同,负数的补码是其原码加1,例如:+2反=+2原=00000010B-2反=11111101B+0反=+0原=00000000B-0反=11111111B(0的反码有两个值),8位二进制反码能表示的数值范围是-127127,例如:+2补=+2原=00000010B+2补=-2反+1=11111110B+0补=+0原=00000000B+0补
9、=-0反+1=00000000B(0的补码有唯一值),8位二进制补码能表示的数值范围是-128127,退出,2.字符的编码 用二进制代码表示各种符号(字母,数字,标点符号,运算符号等),退出,退出,主要要求,8.2 逻辑函数的表示和化简,理解逻辑函数及其基本运算,掌握逻辑函数公式化简法,掌握逻辑函数卡诺图化简法,逻辑代数又称布尔代数或开关代数，是英国数学家乔治布尔(George Boole)在1847年首先创立的。逻辑代数是研究逻辑函数与逻辑变量之间规律的一门应用数学，是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。,退出,8.2.1 逻辑函数及其基本运算,1.逻辑变量与逻辑函数,逻辑变量,逻辑代数是按一
10、定逻辑规律进行运算的代数，它和普通代数一样有自变量和因变量。虽然自变量都可用字母A，B，C，来表示,但是只有两种取值，即0和1。这里的0和1不代表数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。例如，用“1”和“0”表示事物的“真”与“假”，电位的“高”与“低”，脉冲的“有”与“无”，开关的“闭合”与“断开”等。这种仅有两个取值的自变量具有二值性，称为逻辑变量。,退出,逻辑函数,普通代数中的函数是“随着自变量变化而变化的因变量”。逻辑函数就是逻辑代数的因变量,只有0和1两种取值。如果逻辑变量A，B，C，的取值确定之后，逻辑函数Y的值也被惟一地确定了，我们称Y是A，B，C，的逻辑函数，写作 Y=F（A,
11、B,C,）,退出,运算符:“”“”或“”,也可以略去不写.逻辑表达式为:C=AB C=AB C=AB读作:C等于A乘B,或 C等于A与B,2.基本逻辑运算,所谓逻辑，是指“条件”与“结果”的关系。在数字电路中，利用输入信号反映“条件”，用输出信号反映“结果”，从而输入和输出之间就存在一定的因果关系，我们称它为逻辑关系。,在逻辑代数中，有与逻辑、或逻辑、非逻辑三种基本逻辑关系，相应的基本逻辑运算为与运算、或运算、非运算.,a 与运算 也叫逻辑乘(Logic Multiplication),或逻辑积(Logic Production),退出,把A,B两个变量的全部可能取值及进行运算的全部可能的结果
12、列成表,这样的表称为真值表,表中可以看出,与运算时,只有当A,B都为1时,C才为1,退出,与关系实际举例:,图示电路开关闭合记为1,断开记为0,灯亮记 为1,灯灭记为0,只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结果才会发生，这种逻辑关系称为与逻辑关系。,退出,与逻辑关系表,Y=AB,退出,b 或运算 也叫逻辑加(Logic Addition),或逻辑和(Logic Sun),运算符:“+”或“”逻辑表达式为:C=A+B C=AB 读作:C等于A加B,或 C等于A或B或运算的真值表:,表中可以看出,或运算时,只要当A,B有一个为1时,C就为1,退出,或关系实际举例:,图示电路开关闭合记为1,断开
13、记为0,灯亮记 为1,灯灭记为0,当决定事物结果的几个条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，结果就会发生，这种逻辑关系称为或逻辑,退出,或逻辑关系表,Y=A+B,退出,b 非运算 也叫逻辑反(Inversion),或逻辑否定(Logic Negation),退出,非关系实际举例:,图示电路开关闭合记为1,断开记为0,灯亮记 为1,灯灭记为0,在事件中，结果总是和条件呈相反状态，这种逻辑关系称为非逻辑。,退出,非逻辑的关系表,退出,3.逻辑代数的基本定律,退出,例:证明摩根定律(反演率),退出,4.逻辑代数的三个重要准则,在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量A都用一个逻辑函数F代替
14、，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。,代入准则,例如在 B(A+C)=BA+BC中,将所有出现A的地方都代以函数A+D,则等式仍然成立,即得:左边:B(A+D)+C=BA+BD+BC 右边:B(A+D)+BC=BA+BD+BC 左=右,退出,反演准则,设F是一个逻辑函数表达式,如果将F中所有“”变为“+”,所有“+”变为“”;所有0变为1,1变为0;所有原变量变为反变量,反变量变为原变量.所得到的新的逻辑函数的表达式为.这就是反演准则.,退出,对偶准则,设F是一个逻辑函数表达式,如果将F中所有“”变为“+”,所有“+”变为“”;所有0变为1,1变为0.所得到的新的逻辑函数的表达式就是F的对
15、偶式,记作F.所谓对偶准则是指当某个逻辑恒等式成立时,其对偶式也成立.,退出,8.2.2 逻辑函数的公式法化简,根据逻辑定律和规则，一个逻辑函数可以有多种表达式。例如：,与-或表达式与非-与非表达式(摩根定律或非表达式（利用反演规则）或与表达式(将与或非式用摩根定律）或非或非表达式（将或与用摩根定律）,退出,化简表达式,对于同一个逻辑函数,如果表达式比较简单,那么实现时所用的元件就比较少,门输入端引线也减少,既可降低成本又可提高电路的可靠性,因此,逻辑函数的化简是逻辑电路设计中十分重要的环节。,因为与或表达式比较常见且容易同其他形式的表达式相互转换，所以化简时一般要求化为最简与或表达式。,乘积
16、项的个数最少。满足的条件下，每个乘积项中变量的个数最少。,最简与或表达式标准：,退出,逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法。代数法:直接运用基本定律及规则化简逻辑函数。方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。,1.并项法 利用 的公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。例:解:Y1,退出,2.吸收法 利用A+AB=A的公式消去多余的乘积项。例:3.消去法利用，消去多余的因子。例:,退出,4.配项法 利用,增加必要的乘积项，然后再用公式进行化简。例:,退出,例:化简逻辑函数,解,(所有含A的项均被A吸收),(利用A+AB消去因子A),(利用包含律的推论,消去DEFG),(D+D=1),利用代数法化
17、简逻辑函数的优点是没有局限性，但要掌握公式及定律并能熟练运用，另外还需要一定的技巧，化简结果是否最简通常也难以判别。,退出,8.2.3 逻辑函数的卡诺图化简法,卡诺图是指按相邻性原则排列的最小项的方格图。,1.逻辑函数的最小项,例如三变量的逻辑函数A，B，C可以组成很多种乘积项，但符合最小项定义的只有8个：而 等就不是最小项。,退出,最小项的性质,(1)对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值 为1，而取其他值时，这个最小项的值都是0。(2)若两个最小项之间只有一个变量不同，其余各变量均相同，则称这两个最小项满足逻辑相邻。(3)对于任意一种取值全体最小项之和为1。(4)任意两个不同最小
18、项的乘积恒为0。(5)对于一个n输入变量的函数,每个最小项有n个最小项与之相邻。,退出,编号的方法是：,先将最小项的原变量用1、反变量用0表示，构成二进制数,将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号,i,mi,退出,三变量的最小项编号,退出,2.逻辑函数的最小项表达式,利用逻辑代数的基本定律，可以将任何一个逻辑函数变化成最基本的与或表达式，其中的与项均为最小项。这个基本的与或表达式称为最小项表达式。如:,为了简便，可将上式记为,任何逻辑函数都可以化成最小项表达式的形式,并且任何逻辑函数最小项表达式的形式都是唯一的.,退出,解:,退出,例如,函数,求其最小项表达式.,解:列出其真值表,
19、退出,4.卡诺图,卡诺图是逻辑函数的图形表示法。这种方法是将n个变量的全部最小项填入具有2n个小方格的图形中，其填入规则是使相邻最小项在几何位置上也相邻。所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图，简称卡诺图。图 为二、三、四变量的卡诺图。,二变量卡诺图,退出,三变量卡诺图,退出,四变量卡诺图,退出,卡诺图的特点,(1)n变量的卡诺图具有2n个小方块，分别表示2n个最小项。(2)在卡诺图中，任意相邻小方块所表示的最小项都仅有一个变量不同，即这两个最小项具有相邻性。(3)用卡诺图表示逻辑函数.一个逻辑函数Y不仅可以用逻辑表达式、真值表，而且还可以用卡诺图表示。其基本方法是：根据给定逻辑函数画出对应的卡
20、诺图框，按构成逻辑函数最小项在相应的方格中填写“1”，其余的方格填写“0”或不填，便得到相应逻辑函数的卡诺图。,退出,（1）给出的是逻辑函数的真值表。具体画法:先画与给定函数变量数相同的卡诺图，然后根据真值表来填写每一个方块的值，也就是在相应的变量取值组合的每一小方格中，函数值为1的填上“1”，为0的填上“0”，就可以得到函数的卡诺图。,1.卡诺图表示逻辑函数由已知逻辑函数画卡诺图时，通常有下列三种情况：,退出,例:已知逻辑函数Y的真值表，画出Y的卡诺图。,退出,解:先画出A、B、C三变量的卡诺图，然后按每一小方块所代表的变量取值，将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方块中，即得函数Y的卡
21、诺图:,退出,（2）给出的是逻辑函数最小项表达式。把逻辑函数的最小项填入相应变量的卡诺图中，也就是将表达式中所包含的最小项在对应的小方格中填入“1”，其它的小方格填入“0”，这样所得到的图形就是逻辑函数的卡诺图。,例:试画出函数Y(A，B，C，D)=m（0,1,3,5,6,8,10,11,15）的卡诺图,解:先画出四变量卡诺图，然后在对应于m0、m1、m3、m5、m6、m8、m10、m11、m15的小方格中填入“1”，其它的小方格填入“0”.,退出,（3）给出的是一般逻辑函数表达式。先将一般逻辑函数表达式变换为最小项表达式,则可得到相应的卡诺图。,退出,上面画的是函数Y的卡诺图。若要画 的卡诺
22、图，则要将图中“1”换成“0”，其余填写“1”。,2.卡诺图化简逻辑函数(卡诺图化简法),(1)化简依据:利用公式AB+A=A将两个最小项合并消去表现形式不同的变量。(2)合并最小项的规律:利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈0得到反函数，圈1得到原函数，通常采用圈1的方法。(3)化简方法。消去不同变量，保留相同变量。,退出,合并最小项的规律,当2个（21）相邻小方格的最小项合并时，消去1个互反变量；当4个（22）相邻小方格的最小项合并时，消去2个互反变量；当8个（23）相邻小方格的最小项合并时，消去3个互反变量；当2n个相邻小方格的最小项合并时，消去n个互反变量。n为正整数。,退出,两个相邻项
23、的合并,退出,退出,四个相邻项的合并,八个相邻项的合并,退出,画圈遵循的原则是：按合并最小项的规律，对函数所有的最小项画包围圈；包围圈的个数要最少，使得函数化简后的乘积项最少；一般情况下，应使每个包围圈尽可能大，则每个乘积项中变量的个数最少；最小项可以被重复使用，但每一个包围圈至少要有一个新的最小项（尚未被圈过）。,用卡诺图法化简逻辑函数的步骤:画出函数的卡诺图。画卡诺圈：按合并最小项的规律，将2n个相邻项为1的小方格圈起来。,读出化简结果。,退出,例:用卡诺图化简逻辑函数 Y（A,B,C,D）=m（0,2,3,5,7,8,10,11,15）解 第一步，画出Y的卡诺图,第二步，按合并最小项的规
24、律画出相应的包围圈；第三步，将每个包围圈的结果相加，得,退出,例:化简Y（A,B,C,D）=m(3,4,5,7,9,13,14,15)。解 首先画出Y的卡诺图，然后合并最小项。,退出,(a)、(b)是两种不同的圈法,图(a)是最简的；图(b)不是最简的,因为只注意对1画包围圈应尽可能大,但没注意复合圈的个数应尽可能少,实际上包含4个最小项的复合圈是多余的。,从上述例题可知，利用卡诺图化简逻辑函数，对最小项画圈是比较重要的。圈的最小项越多，消去的变量就越多；圈的数量越少，化简后所得到的乘积项就越少。需要指出的是：用卡诺图化简逻辑函数时，由于对最小项画包围圈的方式不同，得到的最简与或式也往往不同。
25、卡诺图法化简逻辑函数的优点是简单、直观，容易掌握，但不适用于五变量以上逻辑函数的化简。,退出,1.无关项 在实际的逻辑问题中，有时变量会受到实际逻辑问题的限制,使某些取值是不允许、不可能、不应该出现的，这些取值对应的最小项称为，无关项有时又称为禁止项、约束项、任意项，在卡诺图或真值表中用或来表示。无关项的值可以是1,也可以是0;对于含有无关项的逻辑函数的化简，如果它对函数化简有利，则认为它是“1”；反之，则认为它是“0”。逻辑函数中的约束项表示方法如下：如一个逻辑函数的无关项是,ABC,则可以写成下列等式：或d(0,2,6,7)=0,5.含有无关项的逻辑函数的化简,退出,2.具有无关项的函数化
26、简 具有无关项的化简步骤如下：填入具有无关项的函数卡诺图(无关项填“”)。画圈合并（使结果简化看作“1”，否则为“0”）。写出简化结果（消去不同，保留相同）。,例:设输入A、B、C、D是十进制数X的二进制编码，当 X5时，输出Y为1;否则为0.求Y的最简“与或”表达式。,解:（1）根据题意列真值表:,退出,从表中看出当A、B、C、D的取值为00000100时，Y=0；当A、B、C、D的取值为01011001时，Y=1；当A、B、C、D的取值为10101111时，因为十进制数只有09这10个数码，对应的二进制编码是00001001，所以对于A、B、C、D的这6组取值是不允许出现的。也就是说，这6
27、个最小项是“无关项”。,退出,真值表得Y的表达式为:Y（A，B，C，D）=m(5,6,7,8,9)+d(10,11,12,13,14,15)(2)用卡诺图化简：不考虑约束条件的化简如图(a)所示,化简结果为 考虑约束条件的化简如图(b)所示,化简结果为 Y(A,B,C,D)=A+BD+BC 可见，利用约束条件的表达式较为简单。,退出,二进制是数字电路中最常用的计数体制，和还可用来表示电平的高与低、开关的闭合与断开、事件的是与非等。二进制还可进行许多形式的编码。基本的逻辑关系有与、或、非3种，与其对应的逻辑运算是逻辑乘、逻辑加和逻辑非。任何复杂的逻辑关系都由基本的逻辑关系组合而成的。逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，逻辑代数中的基本定律及基本公式是逻辑代数运算的基础，熟练掌握这些定律及公式可提高运算速度。,退出,本章小结,逻辑函数可用真值表、逻辑函数表达式、和卡诺图表示，它们之间可以随意互换。逻辑函数的化简法有卡诺图法及公式法两种。由于公式化简法无固定的规律可循，因此必须在实际练习中逐渐掌握应用各种公式进行化简的方法及技巧。卡诺图化简法有固定的规律和步骤，而且直观、简单。只要按已给步骤进行，即可较快地寻找到化简的规律。卡诺图化简法对5变量以下的逻辑函数化简非常方便。,退出,The End,退出,结束,
