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1、第九章,相 量 法,第九章相量法,教学重点1.了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。2.掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。3.掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。,教学难点1掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。,学时分配,第九章相量法,第一节复数的概念,第二节复数的四则运算,第三节正弦量的复数表示法,第四节复数形式的欧姆定律,第五节复阻抗的连接,本章小结,第一节复数的概念,一、虚数单位,二、复数的表达式,一、虚数单位,图 9-1在复平面上表示复数,参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在
2、这个复数平面上定义虚数单位为,即 j2=-1，j3=-j，j4=1。虚数单位 j 又叫做 90 旋转因子。,二、复数的表达式,图 9-1在复平面上表示复数,一个复数 Z 有以下四种表达式。,1直角坐标式(代数式),Z=a+jb,式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。,在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数 A=3+j2 在复平面上的表示如图 9-1 所示。,图 9-1在复平面上表示复数,2三角函数式,在图 9-1 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为，因此可以写成Z=a+jb=|Z|(cos j
3、sin),式中|Z|叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示，即,叫作复数 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出,复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模|Z|构成一个直角三角形。,3指数式,利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z=|Z|(cos jsin)=|Z|ej,4极坐标式(相量式),复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z=|Z|/以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。,【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1=2；(2)Z2=j5；(3)Z 3=j9；(4)Z4=10；(5)Z 5=3 j4；(6)Z6=8 j6(
4、7)Z7=6 j8；(8)Z8=8 j6。,(2)Z2=j5=5/90(j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90),(3)Z3=j9=9/90(j代表 90 旋转因子，即将“9”作顺 时针旋转90),(4)Z4=10=10/180 或10/180(“”号代表 180),(1)Z1=2=2/0,解：利用关系式 Z=a+jb=|Z|/，=arctan，计算如下：,(5)Z5=3+j4=5/53.1,(6)Z6=8 j6=10/36.9,(7)Z7=6+j8=(6 j8)=(10/53.1)=10/180 53.1=10/126.9,(8)Z8=8 j6=(8+j6)=(10/36.9)=10/
5、180+36.9=10/143.1。,解：利用关系式 Z=|Z|/=|Z|(cos+jsin)=a+jb 计算：,【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：(1)Z1=20/53.1；(2)Z2=10/36.9；(3)Z3=50/120；(4)Z4=8/120。,(1)Z1=20/53.1=20(cos53.1+jsin53.1)=20(0.6+j0.8)=12+j16,(2)Z2=10/36.9=10(cos36.9 jsin36.9)=10(0.8 j0.6)=8 j6,(3)Z3=50/120=50(cos120+jsin120)=50(0.5+j0.866)=25+j43.3,
6、(4)Z4=8/120=8(cos120 jsin120)=8(0.5 0.866)=4 j6.928,第二节复数的四则运算,设 Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z2|/，复数的运算规则为,1加减法 Z1 Z2=(a c)+j(b d),2乘法 Z1 Z2=|Z1|Z2|/+,3除法/,4乘方/n,【例9-3】已知 Z1=8 j6，Z2=3 j4试求：(1)Z1 Z2；(2)Z1 Z2；(3)Z1 Z2；(4)Z1/Z2。,解：(1)Z1+Z2=(8 j6)+(3+j4)=11 j2=11.18/10.3,(2)Z1 Z2=(8 j6)(3 j4)=5 j10=11.18/63.
7、4,(3)Z1 Z2=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2,(4)Z1/Z2=(10/36.9)(5/53.1)=2/90,第三节正弦量的复数表示法,正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。,正弦电流 i=Imsin(t i)的相量表达式为,I/i,正弦电压 u=Umsin(t u)的相量表达式为,=U/u,【例9-4】把正弦量 u=311sin(314t 30)V，i=4.24sin(314t 45)A 用相量表示。,解：(1)正弦电压 u 的有效值为 U=0.70
8、71 311=220 V，初相 u=30，所以它的相量为,=U/u=220/30 V,(2)正弦电流 I 的有效值为 I=0.7071 4.24=3 A，初相 i=45，所以它的相量为,=I/i=3/45 A,解:u=sin(t 37)V，i=5 sin(t+60)A。,【例9-5】把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，设角频率均为：(1)=120/37 V；(2)=5/60 A。,解：首先用复数相量表示正弦量 i1、i2，即,I1=3/30 A=3(cos30+jsin30)=2.598 j1.5 AI2=4/60 A=4(cos60 jsin60)=2 j3.464 A,然后作复数加法：
9、I1+I2=4.598 j1.964=5/23.1 A,最后将结果还原成正弦量：i1 i2=sin(t 23.1)A,【例9-6】已知 i1=sin(t 30)A，i2=4 sin(t 60)A。试求：i1 i2。,第四节复数形式的欧姆定律,一、复数形式的欧姆定律,二、电阻、电感和电容的复阻抗,一、复数形式的欧姆定律,定义复阻抗为|Z|/其中 为阻抗大小，=u i 为阻抗角，即电压 u与电流 i 的相位差。则复数形式的欧姆定律为,图 9-2复数形式的欧姆定律,图 9-2 所示为复数形式的欧姆定律的示意图。,二、电阻、电感和电容的复阻抗,1电阻 R 的复阻抗,ZR=R=R/0,2电感 L 的复阻
10、抗,ZL=XL/90=jXL=jL,3电容 C 的复阻抗,ZC=XC/90=j XC=,第五节复阻抗的连接,一、阻抗的串联,二、阻抗的并联,一、阻抗的串联,图 9-3 阻抗串联电路,如图 9-3 所示阻抗串联电路。,n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗,Z=Z1+Z2+Zn,例如 RLC 串联电路可以等效一只阻抗 Z，根据 ZR=R，ZL=jXL，ZC=jXC，则,即Z=|Z|/,其中电抗 X=XL XC，阻抗大小为,为阻抗角，代表路端电压 u 与电流 i 的相位差，即,【例9-7】在 RL 串联电路中，已知：R=3，L=12.7 mH，设外加工频电压 sin(314 t 30)V。试求：电阻
11、和电感上的电压瞬时值 uR、uL。,解：等效复阻抗 Z=ZR+ZL=R+jXL=R+jL=3+j4=5/53.1，其中 XL=4，正弦交流电压 u 的相量为220/30 V。电路中电流相量为,/30 53.1=44/23.1 A,电阻上的电压相量和瞬时值分别为,132/23.1 V,电感上的电压相量和瞬时值分别为,176/90 23.1=176/66.9 V,二、阻抗的并联,阻抗并联电路如图 9-4 所示。,图 9-4阻抗串联电路,n 只阻抗 Z1、Z2、Zn 并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即,即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。,为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z
12、的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即,导纳 Y 的单位为西门子(S)。于是有Y=Y1+Y2+Yn即几只并联导纳的等效导纳 Y 等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为,【例9-8】两个复阻抗分别是 Z1=(10 j20)，Z2=(10 j10)，并联后接在 的交流电源上，试求：电路中的总电流 I 和它的瞬时值表达式 i。,解：由 Z1=(10+j20)可得,由 Z2=(10 j10)可得,即Z1=10+j20=22.36/63.4，Z2=10 j10=14.14/45,由,可得并联后的等效复阻抗为,于是总电流的相量,即 I=15.6 A。总电流瞬时值表达式为,本章小结,本章学习了应用复数相量法
13、表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。,一、复数及其运算法则,二、正弦量的复数表示法,三、欧姆定律与复阻抗,一、复数及其运算法则,1复数的表达式,(1)直角坐标式(代数式)：Z=a+jb,(2)三角函数式：,(3)指数式：Z=|Z|ej,(4)极坐标式(相量式)：Z=|Z|/,2复数的运算法则,设 Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z1|/,(1)加减法：Z1 Z2=(a c)j(b d),(2)乘法：Z1 Z2=|Z1|/|Z2|/=|Z1|Z2|/,(3)除法：/,(4)乘方：/n,二、正弦量的复数表示法,正弦交流电流 i=Imsin(t i)的相量表达式为,I/i,正弦交流电压 u=Umsin(t u)的相量表达式为,U/u,三、欧姆定律与复阻抗,1复数形式的欧姆定律,2电阻 R 的复阻抗ZR=R=R/0,3电感 L 的复阻抗ZL=XL/90=j XL=jL,4电容 C 的复阻抗,ZC=XC/90=j XC=,5阻抗的串联,n 个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗,Z=Z1+Z2+Zn,6阻抗的并联,n 只阻抗 Z1、Z2、Zn 并联可以等效为一只复阻抗 Z,定义复阻抗 Z 的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即,于是Y=Y1+Y2+Yn,
