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1、习 题 课 1 2 章2014.3,1.1 证明：如果PA=PB且 PA=PB，则矢量A=B。,解:,1.2 已知旋转抛物面S为z=x2+y2(0zh)，求流速场v=(x+y+z)az 在单位时间内向下(朝向-az)穿过S的流量Q。,解：,S,S,直接积分：,2.1 位于xy面的带电细圆环半径为a，圆心在原点，电荷线密度为l，求z轴上任一点的点电荷q受的作用力；由x0和x0的半圆环分别在原点产生的电场强度。,R,dE,x,y,z,O,d,解：,x0的半圆环在原点产生的电场,x0的半圆环在原点产生的电场,2.2 如图所示的两个轴线平行的无限长圆柱面之间有体密度为v的电荷均匀分布，其余部分为空气，
2、无电荷，a+cb，求空间各点场强。,O1,O2,原问题可等效为下列问题：,1将小圆柱内填充体密度为v的电荷，即大圆柱内全部填充电荷时，求出此时的电场E1；,2)小圆柱内填充体密度为-v的电荷，仅由小圆柱内电荷产生的电场为E2；,3)原问题所求电场E=E1-E2,b,a,c,2.3如图所示，长度为2a的线电荷沿z轴放置，电荷密度为,求：(1）电荷总量Q(2)沿z 轴上方（z a）任一点p的电位和电场。,提示:,（3）当p点位置位于无穷远时（z-），计算p的电位和电场。,解：,2.4 半径为a 的永久极化介质球，球心在原点，均匀极化强度为P，平行于 z轴，球外为空气，求束缚电荷面密度；求球内轴线上
3、任一点由束缚面电荷产生的和E；若球内为空气，球外为介质，再求、。,解：,z,a,ar,R,0,z,P,讨 论,轴线上的场强与位置无关,由于电场分布具有轴对称性，电力线只有三种可能,Ec Ed EO,Ec Ed EO,Ec=Ed=EO,结论：介质球内的电场为匀强电场,z,a,ar,R,0,z,P,2.5 空气中内半径为a,介电常数为=20 的介质球充满体电荷密度为 的电荷，式中0为常数，r为任意点到球心的距离。试求（1）各部分空间电场强度的分布；（2）束缚电荷(极化电荷)分布。,解:(1),(2),球外解二：,2.6 半径为b的介质球内有一个同心的半径为a的球形空腔，空腔内和球外为空气，介质的介
4、电常数为，极化强度为P=arkr，k为常数，求：束缚电荷的体密度和面密度；自由电荷密度；空腔内任一点的电位。,解：,空腔内=0，E1=0,介质中,球外,空腔内电位,讨 论,在解中，也可直接求,用,计算介质中的电场,由介质边界条件：,用,计算介质中的电场,1、真空中的高斯定律,E(a)的求法,2、,1、2均可求出,2.7 两种介质分界面为z=0平面，如果已知介质1中电场，可以求出介质2中那些地方的电场？,在z=0平面上,2.8 半径为a 的薄导体壳的内表面涂了一层绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，绝缘膜外的壳上又另充了电量Q。已知球内部电场为E=ar(r/a)4，求：球内电荷分布；球壳外表面上
5、的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。,解：,球内总电量 Q:,电荷分布：,球外电位移:,2.9 平行板电容器极板间相距2cm，其中有1cm厚的玻璃，击穿场强为;其余为空气，其击穿场强为。(1)若在极间加电压40kv，此电容器会不会击穿？(2)若将玻璃片取出，问会不会击穿？,因此，电容器会被击穿,解:(1),所以,(2)因为,所以，将玻璃取出后，电容器不会被击穿,2.10 同轴圆柱形电容器内外导体半径分别为a和b，b为给定值。(1)当外加电压U固定时，问a为何值可是电容器中的最大场强取得最小值，并求该值。,(2)当已知介质的击穿场强Emax时，问a为何值时电容器能承受极大电压，并求Umax。,解
6、：(1)此电容器极间电场,令,可得,此时,仍得,(2)由,令,此时,2.11 平行板电容器中有一层电介质，厚度为b，其余为空气隙，厚度为 t。b+t 远小于极板限度。两极间加直流电压U。求单位面积的上极板受的力；受力的方向与U的极性有无关系？,D 1=D2,解：,上极板受力向下，两极板间为吸引力。,极板受力方向与电源极性无关,2.12 一点电荷q与无限大导体平面距离为d,试计算将此点电荷移到无穷远处，所需做的功。,解：镜像法求解.,外力做的功为：,电场力作的功：,2-14 两块相互平行的半无限大导体平板，板间距离为a。在同一端各取a/2长，折成直角相对，但二者绝缘，其横截面如题2.30图所示。域内无空间电荷分布。已知上板电位为0，下板电位为0。求板间电位分布。,
