《矩阵的秩求法ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的秩求法ppt课件.ppt（18页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、定义2 在 mn 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k m,k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。,mn 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。,定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果有的话）全等于0，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R(A)=r。规定零矩阵的秩等于 0。,上页,下页,返回,（3）对于任何mn 矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）min(m,n)；（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则
2、R（A）r1；若矩阵A 的所有r1 1阶子式全等于零，则R（A）r1。,（2）A 的转置矩阵AT 的秩R(AT)=R(A)；,由定义可知:,(1)矩阵A 的秩 R(A)就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数；,上页,下页,返回,上页,下页,(5)对于 n 阶可逆矩阵A，有,|A|0 R(A)=n A 的标准形为 n 阶单位阵E,可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。,例1,求矩阵A 和B 的秩，其中,解,在A 中，容易看出左上角一个2阶子式,A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A|=0，因此R（A）=2。,上页,下页,返回,B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所
3、有4 阶子式全为零，而 3 阶子式,因此R（B）=3。,上页,下页,返回,从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？,上页,下页,返回,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限,次初等行变换矩阵的秩也不变。,上页,下页,返回,定理1 若AB，则 R（A）=R（B）。,定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把,矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非,零行的行数即为所
4、求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常,用方法。,证明:略,注1,注2,求矩阵,的秩。,解,可见R（B）=2，所以R（A）=2。,例2,上页,下页,返回,例3,求矩阵A的秩，并,求A 的一个最高阶非零子式。,解,先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行,阶梯形矩阵：,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,下页,返回,易见R（B）=R（A）=3。,上页,下页,返回,再求A 的一个最高阶非零子式。,因R（A）=3，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。,A 的 3 阶子式共有,要从 40 个子式中,找出一个非零子式，是比较麻烦的。,考察A 的行阶梯,形矩阵，记,则矩阵,的行阶梯形矩阵为,上页,下页,返
5、回,中必有 3 阶非零子式。,3 阶子式有 4 个，在,中找一个 3 阶非零子式比在,A 中找要方便得多。,的前三行构成的子式,因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。,上页,下页,返回,注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，,从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。,由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：,设矩阵A 中有一个 r 阶子式,而所有包含,r+1 阶子式（如果有的话）全为 0，则A 中所有r+1,阶子式全为 0，从而R（A）=r。,利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r+1,阶子式数从,个减少到这里的,个。,上页,下页,返回,Ex1.,求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。,上页,返回,解,先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：,故R（A）=3。,返回,再求A 的一个最高阶非零子式。,因R（A）=3，知A 的最高阶非零子式为 3 阶，,由A 的行阶梯形矩阵可,知，在矩阵,中可,找到 3 阶非零子式。,不妨在,中找，记B=,则B 的行阶梯形矩阵为,返回,可见R（B）=3，故B 中必有 3 阶非零子式，而B,的 3 阶子式有 4 个，,易计算B 的前三行构成的子式,因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。,返回,
