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1、一、设计方法 1、设计思想 先给定理想滤波器的频响Hd(ej)，所要求设计一个FIR的滤波器的频响为H(ej)，使H(ej)逼近Hd(ej),5-2 窗函数设计法,2、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位抽样响应hd(n)，然后加时间窗w(n)对hd(n)截断，以求得FIR DF的单位取样响应h(n)。,例如，低通滤波器,Hd(ej)是矩形的，则 h(n)一定是无限长的且是非因果的。,1、理想LF的单位抽样响应hd(n),理想低通滤波器的频响Hd(ej)为,二、窗函数对频响的影响,因为其相位，所以 hd(n)是偶对称，其对称中心为，这是因为n=时，为其最大，故 为其
2、对称中心。hd(n)是无限长的非因果序列.,a,加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口RN(n)看hd(n)，称RN(n)为窗口函数。,其他n值,2、加矩形窗WR(n)=RN(n),因h(n)是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h(n)可写作,3、h(n)的频率响应 h(n)的频响H(ej)可通过傅氏变换H(ej)=F h(n)求得，为了便于与hd(n)的频率响应Hd(ej)相比较，利用卷积定理,(1)矩形窗的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（2）理想LF的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（3）h(n)的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（1）时，
3、,4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程看其影响:,也就 在 到 全部面积的积分。,（2）时，正好与 的一半相重叠。这时有。,(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。,（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。,（5）当 时，随 增加，左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故 将围绕着零值而波动。,(6)当 时，的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。,1,0,0.5,5、几点结论（1）加窗后，改变了理想频响的边沿特性，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响 的主瓣宽度（2）在过渡带两旁产生肩峰和余振(
4、起伏振荡)，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。,（3）吉布斯（Gibbs）效应 因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是 8.95%，这种现象称作吉布斯效应。,N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。,上图为N=8时，WR(ej)的幅度特性。当N增加时，幅度特性的“主瓣”（=2/N间的区域）宽度减小。对于矩形窗来说，当N增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都
5、要增加，还保持每一波瓣下的面积恒定不变，所以每一波瓣的宽度随N增加而减小，呈振荡方式变化（振荡更快）。,1、基本概念 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求 a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰 和波纹减少。,三、各种窗函数,但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制,2、矩形窗 时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：,3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：,1,0 1 2 3 4,频谱：,第一对零点为，即，所以主
6、瓣宽度，比矩形宽一倍。,4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为又由于 其中又考虑到，这里,所以有,当 时，窗谱分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为,汉宁窗是=2时，特例,5、海明窗，又称作改进升余弦窗 仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为 其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例,6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗 加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为 其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。,7、五种窗函数的比较（1）时域窗,（2）各个窗的幅度函数，图中是dB
7、表示的。,（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）,把窗函数的顶部缩窄，同时使窗函数的两端平缓的过渡到零，就可以降低旁瓣的高度，但这样做却增加了主瓣，从而加宽了过渡区。,由于所用的窗函数都是对称的，所以相位是线性的。上图中，很显然矩形窗的主瓣最窄。,N增大，阻带衰减不变，过渡区变小。因此，可以通过选择窗函数的形状和窗函数列长N对设计加以控制。,增加窗的长度N对低通滤波器设计的影响,几种窗函数的主要性能,凯泽（Kaiser）窗,上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗,可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。,
8、1、凯泽窗,凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：,函数。凯泽窗定义为：,1.定义,其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，,是一个可自由选择的参数。,第一类零阶修正贝塞尔函数为,可同时调整主瓣宽度与旁瓣;,越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣,相应增加；,相当于矩形窗;,通常选择,，旁瓣与主瓣幅度为,3.1%-0.047%；,2.特点,由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即,3.凯泽经验公式,根据滤波器的设计指标,估算出 值和 N 值。,且，,不同b 下凯泽窗的性能,四、窗函数法的设计 1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求
9、出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表确定窗的形式及N的大小（4）最后求 及（5）检验,例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求：,2、设计举例,解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出（2）确定N 由于相位函数，所以 呈 偶对称，其对称中心为，因此,（3）加矩形窗,则有,可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心,由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以,例如 H（0）=0.94789，可以计算H()的值，画如下图,（4）加汉宁窗 由于 可以求出序列的各点值,通过 可求出加窗后的h(n),相应幅度函数可用下式求得：,如H（0）=0.98460，图如下,例,例题 设计低通滤波器,
