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1、1,作业第一章真空中的静电场,电磁学,2,真空中的静电场,如图所示的电荷系统叫电四极子，它由两个相同的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为r处，,式中叫做它的电四极矩。,证明：（1）先求一个电偶极子延长线上距离偶极子中心为x处的场强：,电磁学,3,真空中的静电场,考虑到方向，电偶极子延长线上距离偶极子中心为x处的场强为：,电磁学,4,真空中的静电场,（2）四偶极子是由两个偶极子组成的，,方向向右。,右边的电偶极子在P点产生的场强：,左边的电偶极子在P点产生的场强：,延长线上距离偶极子中心为x处的场强为：,电磁学,5,
2、真空中的静电场,法二、以四个离散型点电荷的电场计算：,方向向右。,则：,6,1-6 如图所示，长为 l=2.00 m的均匀带电细棒，带有电荷量q=2.0010-7C。求与细棒的一端相距为a=1m 处P点的场强。,解：以P点到带电细棒的垂足O为坐标原点建立坐标系如图。,dq=dx,电荷元在P点产生的电场强度大小为,7,电磁学,10,真空中的静电场,.一个半径为的均匀带电半圆环，带有电量q.求半圆环中心上的场强分布。,解:建立如图坐标系；,它在点产生场强大小为：方向沿半径向外。,分解：,积分,沿x轴正方向。,注意此题中若角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。,1-8 设在半径为R的半个
3、球面上,均匀分布着电荷q，求半球面球心处的场强。,X,解：在半球面上取圆环形面元其带电量为,利用P34例3结论,知其在O点的电场强度大小为,方向沿X轴负向.如图所示.,X,O点的总电场强度为,“-”表示电场方向沿X轴负向.,法二：在球面上取面元ds,如图:,方向沿 Z轴,Z,1-10、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。求轴线上离环中心O距离为x处的场强；画出E-x曲线；轴线上什么地方场强最大？其值是多少？,解：由对称性可知，圆环在P点产生的场强沿轴线。圆环上任一线元dl 在P点的场强为,沿轴线上的分量为：,则P点的场强为：,方向沿x轴,（3）,(1)在棒的中垂线上，离棒为R处的
4、电场强度.(2)证明当L时，该点的场强为：,1-11、电荷以线密度均匀分布在长为L的直线段上。求,解：（1）建立如图坐标系，坐标为（x,0）处的电荷元在M点的场强大小为,方向如图。根据对称性易知,x,（i）保留x，角度用x表示;查表计算积分：,（ii）保留角度，x用角度表示：,x,(2)当L时，该点的场强为：,(3)当RL时，该点的场强为：,1-11、（附加）电荷以线密度均匀分布在长为L的直线段上。求在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度。,解：建立如图坐标系，坐标为（x,0）处的电荷元在P点的场强大小为,方向沿X轴向。整个带电细棒在P点的电场为,1-12、附图中，电场强度分量为 其中b=
5、800N/(Cm2)。立方体边长为a=10cm，求：（1）通过立方体的E 通量。（2）立方体内总电荷。,解：（1）因为只有Ex分量，所以立方体六个面只有S1、S2面有分量。,总通量：,（2）根据高斯定理：,可得立方体内的电荷为：,总 通量的三个无关：,总 通量与闭合面内电荷的分布无关。,即是说，只要S内的总电荷量一定，它们在S内的什么位置，不影响总电通量的大小和正负。,只要S内的总电荷量确立了，不管S的形状、大小如何，总通量不变。,即是说，S面外的电荷产生的场对S的总通量无贡献。应当注意，这并不是说S外的电荷，在S上不激发电场，也不是说场强对S面上的面元没有电通量，而是S外的电荷产生的场，对S
6、上各面元的通量有正有负，总和为零。,总 通量与闭合面S的形状、大小无关。,总 通量与闭合面S面外的电荷无关。,1-13 设有两个同心球面,半径分别为R1=2.0 cm和R2=4.0 cm,带有电量,（1）计算与球心相距 的场强。（2）画出场强随距离变化的曲线。,解：由对称性可以判定，场强具有球对称性。小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。,作半径为r的同心高斯球面，如图。,根据高斯定理,有,1-15 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1=2.0 cm和R2=4.0 cm,圆柱面均匀带电，内柱面单位长度的带电量为内柱面单位长度的带电量为,（1）计算与中轴相距 的场强。（2）画出场强随距离
7、变化的曲线。,选取闭合的柱形高斯面，闭合面的电通量为：,根据高斯定理,1-20、设有一均匀带点球体，电荷体密度为，半径为R。今在均匀带电球体内偏心挖去一个半径为b 的小球，带电球体中心到空腔中心的距离为a，如图所示。求（1）带电球体中心O 处的场强。（2）求空腔内两球中心O 和O 连线上的场强分布？,解：挖去一个球形空腔的带电体的场强可以看作：一个均匀带正电的大球和一个均匀带负电的小球的场强的叠加。,（1）大球在O点的场强为零，只有带负电的小球对O点的场强有贡献。,根据对称性，以O点为球心作高斯面如图，有：,即：,方向沿x轴正方向,（2）求空腔内两球中心O和O连线上的场强分布.,（a）设P点在
8、O右边，距离O为r。先求均匀带正电的大球在P点的场强：,以O点为球心,半径为r 作高斯面如图，,即：,x,根据高斯定理,方向沿x轴正方向。,再求均匀带负电的小球在P点的场强：,以O点为球心,半径为r-a作高斯面如图，根据高斯定理，有,方向沿x轴负方向。,则P点的场强为：,方向沿x轴正方向。,（b）设P点在O左边，距离O为r。先求均匀带正电的大球在P点的场强：,以O点为球心,半径为r 作高斯面如图，,即：,x,根据高斯定理,方向沿x轴正方向。,再求均匀带负电的小球在P点的场强：,以O点为球心,半径为(a-r)作高斯面如图，根据高斯定理，有,方向沿x轴正方向。,则P点的场强为：,方向沿x轴正方向。
9、,（c）设P点在O点。小球在该点的场强为零。此处只有大球对该处场强有贡献。,以O点为球心,半径为a 作高斯面如图，,即：,x,根据高斯定理,方向沿x轴正方向。,可见在空腔内两球中心连线上，场强为恒定值。,（d）若P点空腔内任一点。其场强如何？,根据高斯定理,空腔内为稳恒电场,1-24、一均匀带电细棒,长为l15.0 cm,电荷线密度为=2.00 10-9 C m-1.求（1）细棒延长线上与棒的一端相距为a5.00 cm 处的电势；（2）细棒中垂线上与棒相距为b5.00 cm 处的电势。,解：叠加法将带电细棒视为点电荷集合。,（1）取坐标x初一线元dx,选无限远处为势能零点后，该线元在P点的电势
10、为：,（2-1）取坐标x初一线元dx,选无限远处为势能零点后，该线元在P点的电势为：,（2）求细棒中垂线上与棒相距为b5.00 cm 处的电势。,（2-2）若选用角度为变量：,带入数值，得：,1-26、设有一均匀带电球体，电荷体密度为，球半径为R。（1）求电势分布；（2）画出V-r曲线。,解：由高斯定理求得场强的空间分布：,选无限远处为势能零点由定义：,1-27、设有两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=10.0cm,R2=20.0cm,均带有电量（1）计算与球心相距0.15m、0.3m 两处的电势；（2）画出 Er 和 Vr 曲线。,解:(1)作半径为r的同心高斯球面.,根据高斯定理,可得
11、空间的场强分布：,由电势的定义，选无限远初为势能零点，空间P点的电势为:,（沿径向取积分路径）,注：（I）若所求P点在第一个球壳内，即rR1,有,（II）若所求P点在两球壳之间，即R1rR2,有,（III）若所求P点在第二个球壳外，即rR2,有,（2）画出 Er 和 Vr 曲线。,解:(法1)把长圆筒看作无限长，作同轴闭合圆柱形高斯面，圆柱的高为h。由高斯定理可得场强的空间分布：,1-28、设有两个同轴的薄壁金属长圆筒，内、外半径分别为R1和R2，已知内外圆筒的电荷线密度分别为 1和1。求两金属圆筒间的电势差。,内筒与外筒间电势差：,带入数值，得：,1-29、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电
12、，电荷体密度为，以轴线为电势参考点，求电势分布。,解：根据对称性，作同轴的圆柱面作为高斯面。,根据高斯定理,可得空间的场强分布：,即：,以轴线为电势参考点,求单位正电荷沿OCD 移至D，电场力所作的功:,将单位负电荷由,电场力所作的功:,1-33 如图已知:,1-20 一球体内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为 r 的一个小球体，球心为O，两球心间距离OO=d，如图所示。求：1）O处的电场强度。2）在球体内点 P 处的场强。OP=OO=d(10-24),解：假设球形空腔内带有体密度为 的正电荷和等量的负 电荷，则球内各点的场强可以看作带正电的大球和带负
13、电的小球共同产生的。,1）O点的场强：,由高斯定理：,P点的场强：,由高斯定理：,2）求在球体内点 P 处的场强。OP=OO=d,电磁学,46,真空中的静电场,.一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为，求环心处点的场强和电势,解:（1）求场强。建立如图坐标系；在圆上取电荷元,它在点产生场强大小为：方向沿半径向外。,分解：,积分,沿x轴正方向。,注意此题中若角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。,电磁学,47,真空中的静电场,（2）求电势。建立如图坐标系；在圆上取电荷元,它在点产生电势大小为：,积分,电磁学,48,例题2 如图所示，均匀带电细棒AB长为l，所带电荷线密度为，棒外一点P到棒的距离为a，P点与棒的两个端点A、B的连线分别与棒成夹角1、2，求P点的电场强度。,解：以P点到带电细棒的垂足O为坐标原点建立直角坐标系xOy。,真空中的静电场,电磁学,49,dq=dx,电荷元在P点产生的电场强度大小为,真空中的静电场,电磁学,50,统一积分变量：,真空中的静电场,电磁学,51,真空中的静电场,电磁学,52,如果la，即带电细棒为无限长，1=0，2=，这时,真空中的静电场,
