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1、第十章 分析的严格化,微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格基础的重建方面做出了种种尝试。,在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法。后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论。拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。,10.1 柯西与分析基础,经过一个
2、世纪的不懈努力，数学家们在严格化基础上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效。其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。,1变量。“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。2函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，
3、而且也突破了函数必须有解析表达式的要求。,3极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。4无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小的固定数。5连续函数。柯西第一次解决了函数连续性的定义问题。,6导数与微分。柯西把导数明确定义为差商 当 无限地趋向于零的极限，函数的微分法则定义为 7积分。柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义。,在
4、以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理。柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件。,柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。他的许多定义和论述已经相当接近于微积分的现代形式。尤其是关于微积分基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样。,10.2 分析的算术化,柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算植根于实数园地
5、，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的明确定义。,对实数系缺乏充分的理解，不仅会造逻辑上的间断，有时甚至会导致结论上的错误。当时人们对连续函数处处可微的看法就是一个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续但却处处不可微的函数时，整个数学界大为震惊。,魏尔斯特拉斯的例子是 其中a是奇数，b(0,1)为常数，使得，魏尔斯特拉斯的函数使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性。,由此引来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动，这场运动的主将就是魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身
6、严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理数）。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。,10.2.1 魏尔斯特拉斯,在数学史上，魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是-语言的创立，还有一致收敛性的引进。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上不能缺少魏尔斯特拉斯的工作。,10.2.2 实数理论,1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。但没有正式发表。1872年，戴德金
7、、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的。,戴德金的方法也称为戴德金分割，是将一切有理数的集合Q划分为两个非空不相交的子集A1和A2，使得A1中的每一个元素小于A2中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，记为（A1，A2）。有些分割是有理数产生的，在这样的分割中，要么A1有最大元素，要么A2有最小元素。,但有些分割却不是，例如，若A2是由满足 的一切正有理数 x 组成，A1是由一切其余的有理数组成，则既不存在A1的最大元素，也不存在A2的最小元素，因为不存在有理数x使得。,戴德金说：每当我们考虑一个不是由
8、有理数产生的分割（A1，A2）时，就得到一个新数即无理数a，我们认为这个数是由分割（A1，A2）完全确定的。因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A1，A2）。,康托尔的基本思想则是把实数 a 定义为满足柯西收敛准则的有理数基本序列。康托尔把每个有理数基本序列与一个实数等同起来。而两个基本序列 与，若，则被看成是等价的，即它们定义同一个实数。,用现代语言说，康托尔的定义相当于把实数集合定义为有理数的基本序列的一切等价类的集合。如果r是一个有理数，则序列 就表示对应于r的实数。,戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严格证明了实数系的完备性。这样
9、长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。,10.2.3 集合论的诞生,在分析的严格化过程中，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，这样就导致了集合论的建立。狄利克雷、黎曼等人都研究过这方面的问题，但只有康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论，并开拓了一个全新的数学研究领域。,康托尔是在研究函数的三角级数表达式的唯一性问题时开始接触无穷点集的。他在1872年发表的关于三角级数中一个定理的推广中定义了一系列点集论的基本概念，如极限点、导集等，奠定了无穷点集论的初步基础。,在
10、将唯一性定理推广到允许无穷例外点等的过程中，康托尔认识到，这些例外点的集合及其导集所产生的问题与全体实数集合的构造性质密切相关。他得出结论：全体有理数的集合是可数的，他还证明全体实代数数的集合也是可数的。,有理数是可数的,每个正有理数都出现在这个阵列中。如果我们按箭头所示次序依次重新排列，略去已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列r1,r2,r3,r4,，于是序列0，-r1，r1，-r2,r2,-r3，r3，就是包括了所有有理数的集合。这样就证明了有理数集的可数性。,思考：请证明实数集不是可数集。提示：证明（0，1是不可数的.,康托尔关于实数不可数性的发现，是为建立超穷集合论而迈出的
11、真正有意义的一步。1878年在他发表的文章中，康托尔明确提出了“基数”或“势”的概念：给定两个集合M和N，如果能够根据某种规则在它们之间建立起一一对应的关系，就称这两个集合有相同的“基数”，或者说“等势”。,康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数推广到无穷数。康托尔在1883年的一篇文章里提出了良序集和序数的概念，又在1891年发表的“集合论的一个根本问题”里，证明了著名的康托尔定理：一集合的幂集的基数较原集合的基数大。,10.3 分析的扩展,在分析严格化的同时，数学家开始更自觉地将分析工具应用于其他数学分支。,10.3.1 复分析的建立,直到19世纪初，复数的“合法性”仍是一个未解
12、决的问题，尽管如此，18世纪的数学家如达朗贝尔和欧拉等人在他们的工作中大量地使用复数和复变量，并由此发现了复函数的一些重要性质。复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯。,柯西在1825年出版的关于积分限为虚数的定积分的报告可以看成是复分析发展史上的第一座里程碑。柯西的积分理论是复分析的开山利斧，通过它可以导出与复函数的解析性相关的一系列本质结果。,黎曼以题为单复变函数一般理论基础的论文在哥廷根大学获得博士学位。就复变函数论而言，黎曼的论文以导数的存在性作为复函数概念的基础。黎曼这篇论文的突出特征是其中的几何观点。,魏尔斯特拉斯为复变函
13、数论开辟了又一条研究途径。他相信函数论的原理必须建立在代数真理的基础上，所以他把目光投向了幂级数，用幂级数定义函数在一点邻域内的解析性，并演出整个解析函数理论。,在19世纪末，魏尔斯特拉斯的方法占据了主导地位，但后来柯西和黎曼的思想被融合在一起，其严密性也得到了改进，而魏尔斯特拉斯的思想也逐渐从柯西黎曼观点推导出来。这样，上述三种传统便得到了统一。,10.3.2 解析数论的形成,19世纪分析方法的一个重要应用领域是数论。事实上，欧拉在数论中已引进了分析方法。不过这种方法在当时还显得十分有限而不成熟。,解析数论作为有意识使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄利克雷开始的。1837年，狄利克雷利
14、用分析方法证明了欧拉和勒让德早先提出的一个猜想，即每一个算术序列a+n b（a,b互素）中都有无穷多个素数。,在证明中，狄利克雷引入了后来随其命名的L函数 其中是s复变数，称为狄利克雷（剩余）特征标。此后，狄利克雷L函数成为研究数论问题的重要工具。,不过促使解析数论取得长足进展的重要因素是关于素数分布问题的研究。若以(x)表示不超过x的素数的个数。欧拉、勒让德、高斯都曾推测 但他们都未能给予证明。这就是著名的素数定理。,最先在这方面作出贡献的是俄国数学家切比雪夫。他在1850年给出并证明了当x充分大时，不等式 成立，其中,素数定理也引起了黎曼的兴趣。他在1859年发表文章，从欧拉的一个有关恒等
15、式中引出了黎曼函数的概念，指出素数性质可以通过复变函数(s)来探讨。他还建立了与(s)的零点有关的表示(x)的公式。因此，研究素数分布的关键转变为对函数(s)性质的讨论.,黎曼开创了解析数论的新时期，并使复分析成为这一领域的重要工具。在这篇文章中，黎曼还提出一个猜想：(s)在带形区域 中的一切零点都位于 这条线上，其中 表示复变数s的实部。这就是著名的黎曼猜想，至今没有解决。,1896年，阿达马和瓦莱普桑根据黎曼的方法和结果，应用整函数理论，终于证明了素数定理，从此解析数论开始得到迅速发展，并成为20世纪最为活跃的数论分支之一。,10.3.3 数学物理与微分方程,物理问题从来就是数学发展的源泉
16、。18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程。随着物理科学研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到19世纪，偏微分方程的求解为数学家和物理学家关注的重点。,19世纪偏微分方程发展的序幕，由法国数学家傅里叶拉开。他因研究吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律，于1822年发表了热的解析理论，这是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。,傅里叶的工作在发展偏微分方程理论的同时，解放了人们对函数概念的固有认识，从此以后，函数不再仅仅局限于解析函数或可展成泰勒级数的函数。,19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来
17、进行的，这方面的代表人物是格林。位势方程也称拉普拉斯方程。拉普拉斯曾采用球面调和函数法解过这个方程，不过他得出的是一个错误结论。“位势”的名称来源于格林，与前人不同的是，格林充分认识到了位势方程的重要性，并发展了位势函数的一般理论。,格林求解位势方程的方法称为奇异点方法。1828年，格林建立了许多有益于推动位势理论朝前发展的极为关键的定理与概念。其中以格林公式（n为物体表面指向内部的法向，dv是体积元，是面积元）和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。,格林是剑桥数学物理学派的开山祖师，他的工作培育了汤姆逊、史托克斯、麦克斯韦等强有力的后继者。作为19世纪典型的数学物理学家。他
18、们的主要目标，是发展求解重要物理问题的一般数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程，以致于在19世纪，偏微分方程几乎变成了数学物理的同义语。就在这一时期，通过各种实际的物理问题，数学家们建立起了类型众多的微分方程。,然而，面对自己建立的微分方程，数学家们试图推求其显式解的努力却屡遭败绩。这种情况促使他们转而考虑解的存在性。柯西最先在19世纪20年代对一类特殊的常微分方程给出了第一个存在性定理，接着，他又在1848年的一系列论文讨论了偏微分方程解的存在性并提出了证明的长函数方法。,柯西的工作在1875年被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内的非常一般的形式。有关的
19、偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中常常称为“柯西柯瓦列夫斯卡娅定理”。,经过长时期的相对沉寂之后，到19世纪后半叶，常微分方程理论的研究也日显突出，并且在两个大的方向上开拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大发展都与庞加莱的名字联系在一起。,第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论。常微分方程解析理论是由柯西开创的，但柯西之后，解析理论重点向大范围转移。黎曼和福克斯发展了线性方程理论，福克斯与庞加莱探讨了一阶非线性方程理论，到庞加莱与克莱因的自守函数理论而臻于顶峰。,庞加莱是在他1882-1884年间的一系列论文中建立自守函数的一般理论的。自守函数的研究完整地解决了n阶代数系数线
20、性常微分方程的积分问题，同时作为椭圆函数的推广，自守函数本身已成为解析函数论的重要内容。,另一个崭新方向就是定性理论，它完全是庞加莱的独创。庞加莱1881-1886年间在同一标题由微分方程定义的曲线下发表的4篇论文，寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，创建了微分方程定性理论。,庞加莱从某种形式的非线性方程出发，发掘了微分方程中奇点的关键作用。庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究在1892年以后被俄国数学家李亚普诺夫发展到高维一般情形，而形成专门的“运动稳定性”分支。,庞加莱、克莱因和希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影。他们反射着19世纪数学的光辉，同时照耀着20世纪数学的道路。与18世纪末人们的悲观预料完全相反，数学发展在19世纪并没有“山穷水尽”，相反却峰回路转，出现了一片柳暗花明的繁荣景象。,直到19世纪末，无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有着做不完的问题。1900年8月5日，庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是在这次会议期间，希尔伯特以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕。,思考题,魏尔斯特拉斯在1861年举出一个什么例子来说明存在处处连续但却处处不可微的函数？请证明有理数的可数性。请简述素数定理的主要内容及其证明历程。,
