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1、第六章 刚体的简单运动,刚体的平行移动,轮系的传动比,以矢积表示点的速度和加速度,第六章 刚体的简单运动,刚体绕定轴的转动,转动刚体内各点的速度和加速度,例,由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。,是指刚体的平行 移动和转动,简单运动,OB作定轴转动CD作平动,AB、凸轮均作平动,例,AB在运动中方向和大小始终不变 它的轨迹,可以是直线可以是曲线,一、刚体平动的定义,刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。具有这种
2、特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称平动。,6-1 刚体的平行移动,二、刚体平动的运动特征,设刚体做平动，如图所示。在刚体内任选两点A和B，令点A的矢径为rA，点B的矢径为rB。由图可知,平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。,上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有,即,结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。,刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同。,刚体平移点的运动,【例6-1】荡木用两条长为 的钢索平行吊起，如图所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，为最大摆角。试求当t=2
3、s时，荡木中点M的速度和加速度。,解：荡木在运动的过程中,荡木作平动。为求中点M 的速度和加速度,只需求出荡木上另一点A(或点B)的速度和加速度即可。点A 的运动方程为,将上式对时间求一阶导数，可得A点的速度,A点的切向加速度和法向加速度可分别写为,当t=2s时，速度和加速度可分别写为,(方向水平向左),(方向铅直向上),【例6-2】,图示曲柄滑块机构中，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径R=100mm,圆心O1在导杆BC上。曲柄OA=100mm,以等角速度=4rad/s绕O轴转动。求导杆BC的速度和加速度。,解：OA定轴转动，BC平移。研究O1点的运动即可。,6-2 刚体绕定轴的转动,转轴：两固定
4、点连线,1.定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。,刚体绕定轴的转动的动画,3、定轴转动的角速度和角加速度 1）角速度：,单位 rad/s,若已知转动方程,方向：逆时针方向为正,2）角加速度:设当t 时刻为,t+t 时刻为+,与方向一致为加速转动,与 方向相反为减速转动,3）匀速转动和匀变速转动当=常数,为匀速转动；当=常数,为匀变速转动。,单位:rad/s2,【例6-3】电动机由静止开始匀加速转动，在t=20s时，其转速n=360r/min，求在此20s内转过的圈数。,解：电动机初始静止，即0=0。在t=20s时其转动的角速度为,由=0+t，
5、可得电动机转动的角加速度为,在20s内转过的角度为,故在20s内转过的圈数为,(圈),6-3 转动刚体内各点的速度和加速度,2.速度,3.加速度,1.点的运动方程,4.速度与加速度分布图,结论:v方向与 相同,R,与 R 成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致,且小于90o。,【例6-4】半径R=0.2m的圆轮绕固定轴O转动，其运动方程为。试求t=1s时，轮缘上任一点M以及重物A的速度和加速度。,解：t=1s时圆轮转动的角速度和角加速度分别为,方向如图所示。点M的法向加速度的大小为,点M的全加速度的大小和方向分别为,这里 表示点M的全加速度和半径之间的夹角。,【例6-5】试画出图中
6、刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。其中,解：建立图示坐标系,解：由定轴转动公式,对此式求导：,半径的表达式：,6-轮系的传动比,1.齿轮传动,啮合条件,外啮合,内啮合,传动比,齿数,由于,显然当:时,为升速转动；时,为降速转动。,内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。,.带轮传动,【例6-8】设主动轮A和从动轮B的节圆半径分别为r1和r2，齿数分别为z1和z2。主动轮A的角速度为1，角加速度为 1，试求从动轮B的角速度和角加速度。,解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即,因而有,从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为,一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径
7、成正比，所以上面式子可写为,联合上面两式，可得,有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值,式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同(内啮合)，而负号表示主动轮和从动轮转向相反(外啮合)。,通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为传动比，用i12表示,6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度,1.角速度矢量和角加速度矢量,角速度矢量,角加速度矢量,角速度矢的指向,2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度,加速度,M点切向加速度,M点法向加速度,【例6-9】如图所示圆盘以恒定的角速度=50rad/s 绕垂直于盘面
8、的中心轴转动，该轴在yz面内，倾角=arctan3/4，动点M 的矢径在图示瞬时为。试用矢量法求动点M的速度和加速度。,解：由转轴所在的方位可将圆盘转动的角速度矢写为,动点M的速度,由于圆盘角速度为常数，所以动点M的切向加速度为零。动点M的法向加速度为,例6-10 刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为。,求：t=1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。,解：角速度矢量,M点相对于转轴上一点M0的矢径,求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。,例6-11 某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小=25r
9、ad/s。,总结,一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动,曲线运动(点);平动,定轴转动(刚体)。2.基本运动规律与公式:,二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:弄清题意,明确已知条件和所求的问题。选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。,注意问题：几何关系和运动方向。求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。,三.例题例1列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速
10、度？,解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知,列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度,例2已知如图，求时正好射到A点且用力最小。,分析：只有在A点，vy0且为最大高度时，用力才最小。,解：由,由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：,将上式代入和，得：,例3已知：重物A的,（常数）初瞬时速度,方向如图示。求：,滑轮3s内的转数；重物B在3s内的行程；重物B在3s时的速度；滑轮边上C点在初瞬时的加速度；滑轮边上C点在3s时的加速度。,解：因为绳子不可以伸长，所以有,t=0 时，,t=3s 时，,例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得,求：转动方程;t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。,解：,M,当5s时，,M,例5已知如图，从O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线的抛角为。,（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）,到达高度为h 时，t与 的关系有下式确定,解：选坐标系，则,O,将对求导数,将（最早到达的条件）代入，得,又,证毕。,表示出在某一角度下时间会最短。（极值）,Thank You!,
