第六章无限长IIR数字滤波器的设计ppt课件.ppt

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1、第六章IIR DF无限长数字滤波器的设计,6-1 引言一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通。其特点为：（1）频率变量以数字频率 表示，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率 为周期；（3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。,0,0,低通,0,高通,带通,0,0,带阻,全通,二、DF的性能要求（低通为例）,0,通带截止频率,阻带截止频率,通带阻带过渡带 平滑过渡,三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应,3、群延迟,它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。四、DF设计

2、内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标；2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。,五、IIR数字filter的设计方法 1、借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。,6-2 将DF的技术指标转换为ALF的技术指标一、意义 AF的设计有

3、一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般转换方法 1、2、3、4、,三、转换举例 例如，一低通DF的指标：在 的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有,假定 处幅度频响的归一化值为1，即,这样，上面两式变为,由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为,6-3 ALF的设计 ALF的设计就是求出filter的系统函数 Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且

4、逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。一、由幅度平方函数确定系统函数 1、幅度平方函数,由于 所以,其中，是AF的系统函数，是AF的频响，是AF的幅频特性。,2、Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点（1）如果S1是Ha（S）的极点，那麽-S1就是Ha（-S）的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽-S0就是Ha（-S）的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈象限对称的,例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；（4）由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极

5、点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。,3、由 确定 的方法（1）求（2）分解 得到各零极点，将左半面的极点 归于，对称的零点任一半归。若要求最小相位延时，左半面的零点归（全部零极点位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。,例6-1 由,确定系统函数。,解：,所以，极点为 零点为,均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点,为 的零极点，这样,由，可确定出，,所以。,因此,因,二、巴特沃斯低通滤波器 1、幅度平方函数,其中，N为整数，是filter的阶数；为3dB截止频率。当 时，则,即,（1）通带内有最大平坦的幅度特性

6、；（2）不管N为多少，都通过 点。,3、巴特沃斯filter的系统函数,由于 所以其零点全部在 处；即所谓全极点型，它的极点为,也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为），共有2N点。,例如，N=2时，,N=3时，,4,取 左半平面的极点为 的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数 由 的低频特性决定。,则,例6-2导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设,解：所以,其极点为,因此有,取前三个极点，则有,4、归一化的系统函数 如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作 例如，对于巴特沃斯filte

7、r,如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。三、归一化原型filter的设计数据 不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式 例如，归一化巴特沃斯原型filter的系统函数（这里的S即）为当,增益为1，则有，N=19阶的各个系数，如表6.2.1，P157所示。*由归一化系统函数 得，只需将S代入 即可。,式中，Sk为归一化极点，令S=P，用下式表示：将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(6.2.12),将=s代入(6.2.6)式中，

8、再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：,(6.2.14),(6.2.15),(6.2.11),由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(6.2.16),用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：,由(6.2.15)式得到：,(6.2.17),(6.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极

9、点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,四、设计举例（巴特沃斯filter）1、技术指标 2、计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得,解上述两式得：,因此，,取N=6，则,3、的求得查P157，表6.2.1，可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯LF的系统函数为,将S用 代入，可得 为:,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按

10、照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。,(2)按照(6.2.12)式，其极点为,按照(6.2.11)式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-.8090j0.5878;-1.0000,式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。按照(6.2.17)式，得到：,将c代入(6.2.18)式，得到：,将p=s/c代入Ha

11、(p)中得到：,4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带 通、带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1)低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,(6.2.41),(6.2.40),图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率p=1/

12、p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,(6.2.42),解：高通技术要求：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术要求：,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,求模拟高通H(s)：2)低通到带通的频率变换

13、 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。,图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性,表6.2.2 与的对应关系,由与的对应关系，得到：,由表6.2.2知p对应u，代入上式中，有,(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,(6.2.43),将(6.2.43)式代入上式，得到：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：,(6.2.44),(6.2.45),上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即

14、：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率 s1,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2)确定归一化低通技术要求：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。,例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s

15、=15dB。解：(1)模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6,(2)模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表6.2.1，得,(4)求模拟带通H(s)：,3)低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。,图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性,图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率

16、和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=ul，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul,表6.2.3 与的对应关系,根据与的对应关系，可得到：且ul=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,(6.2.46),(6.2.47),(6.2.48),下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频

17、率+20=ul，阻带宽度B=ul它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。,(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解：(1)模拟带阻滤波器的技

18、术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=ul=2200;,l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25(2)归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p):,(4)带阻滤波器的H(s)为,6-4 冲激响应不变法 AF设计完毕以后，还应将 变换成 H(z)，也就是将S平面映射到Z平面。通常有三种方法：（1）冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。,一、变换原理 h(n)为DF的单位冲激响应序列，为AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使h(n)

19、正好等于 的抽样值，即如果 则有上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到Z平面。二、混迭失真 DF的频响并不是简单的重复AF的频响，而是AF的频响的周期延拓，即,根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF在折叠频率 内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图,0,三、AF的数字化方法 1、一般方法。先，再对抽样，使，最后 H(z)=Zh(n)，一般说来过程复杂。2、方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，可展成如下的部分公式,因此，,3、几点结论（1）S平面的单极点 变为Z

20、平面单极点 就可求得H(z)。（2）与H(z)的系数相同，均为（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。4、修正的H(z)由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：,例 AF的系统函数为，试用冲激响应不变法设计IIRDF，T=1。解：设T=1，,例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解:首先将Ha(s)写成部分分式：,极点为,那么H(z)的极点为,按照(6.3.4)式，并经过整理，得到 设T

21、=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则,转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则,再按照(6.3.14)式，H(z)为,图6.3.3 例6.3.1的幅度特性,6-5 双线性变换法,通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到,频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将 S平面中非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平

22、面。,一、变换原理,在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为（如 到）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：,时，将由 经过0变到,由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过正切变换实现：,其中C为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到,通过欧拉公式，可得：,上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：,将上式关系延拓到整个S和 平面，则有：,借助于 平面和Z平面的映

23、射关系：，可以得到：,可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是双向的，故称作双线性变换,二、S平面与Z平面的映射关系,由于,可得：,（1）当 时，；这就是说，S平面的 轴映射Z平面的单位圆上。,（1）当 时，上式的分母大于分子，则有；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。,三、变换常数C的选择,由于，所以只有当 很小（一般），和 之间才存在线性关系，即：,1.如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择,这时有，即,2.如果使DF的某一稳定频率（如）与AF的一特定频,严格相对应，则有,率,即,四、双线性变换的特点,1。S平面的虚轴（）映射到Z平面的单位圆上。这

24、是因为 时，不管常数C为何值，均为1。,2。稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是,因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。,3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：,将 代入双线性变换公式，且 则,即,亦即,从 时，则 从；这就是说，S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部,从 时，则 从；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部,也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当,时，,为折叠频率，所以不会有高于折叠频率,的分量，因此不会产生混叠失真。,变换关系近似于线性，随着 的增加，表现

25、出严重 非线性。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。,4.频率的非线性失真,从 的关系曲线可以看出，在零频附近，与 之间的,五、设计方法,1。直接代入法,只需将 代入AF系统函数 就可得到DF的系统函数，即,2.间接代入法,先将 AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子,系统函数进行双线性变换。,例如,并联形式与上述类似,3。表格法,由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出AF与DF的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。,设AF的系统函数为：,注：上式分子与分母的阶次均为N，若分子阶次小

26、时，可令最高几个阶次的 为零。,又设DF的系统函数为,P177 表6.4.1 给出了一至五阶的 系数 与 系数 关系,表6.4.1 系数关系表,例6.4.1 试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解：首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为,利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为,利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为：,H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。,图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z),下面我们总

27、结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率p和s 的转换，对p和s指标不作变化。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为：,如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为：,图6.4.6例6.4.1 图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性,(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例6.4.2 设计低通数字滤波器

28、，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。,解：(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB,设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。,取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术

29、要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为,为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：,图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性,(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为,设计巴特沃斯低通滤波

30、器。阶数N计算如下：,取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。,根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：,图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性,6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟

31、滤波器的技术指标，转换公式为,(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。,例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解:(1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB,(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1

32、，则有,(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：,将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：,查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为:,为去归一化，将p=s/c代入上式得到：,(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：,(6)用双线性变换法将模拟高通H(s)转换成数字高通H(z)：,实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即,例6.5.2 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为

33、阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解:(1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad 通带下截止频率 l=0.3rad,阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下截止频率 s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。,(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有,(通带中心频率),(带宽),将以上边界频率对带宽B归一化，得到 u=3.348,l=2.348;s2=4.608,s1=1.498;0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率,归一化通带截止频率,p=1p=3dB,s=18dB,(

34、4)设计模拟低通滤波器：,查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：,将上式代入(5)中的转换公式，得,将上面的p等式代入G(p)中，得,例6.5.3 设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解:(1)数字带阻滤波器技术指标：l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB;s1=0.

35、198rad,s2=0.202rad,s=13dB,(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有,阻带中心频率平方为 20=lu=0.421阻带带宽为 B=u-l=0.07rad/s,将以上边界频率对B归一化：l=8.786,u=9.786,s1=9.186,s2=9.386;20=lu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(6.2.48)式，有 p=1,p=3dB,(4)设计模拟低通滤波器：,(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：,6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。,6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,1.零极点累试法2.平方误差最小

36、法3.时域直接设计法,一、零极点累试法,1.定义:,2.注意事项:,(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；,滤波器设计时，根据其幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点写出起系统函数，画出其幅度特性，并与希望值进行比较，如不满足要求，可通过移动零极点位置或增加（减少）零极点进行修正。这种修正是多次的，故称为零极点累试法。,(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。,设计带通滤波器，通带中心频率为。时，幅度衰减到0。,解：,例6.6.1,二、频域幅度平方误差最小法,设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示：,式中，A是常数；ai,b

37、i,ci,di是待求的系数。,Hd(e j)是希望设计的滤波器频响。,如果在(0，)区间取N点数字频率i，i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(e j)|和|H(e j)|，写出两者的幅度平方误差E为：,在此式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面我们研究采用此式网络结构，如何求出(4K+1)系数。,由表达式可以看出，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：,上式表示4K个系数组成的系数向量。,这里Ag为常数。,为选择A使E最小，令：,可解得：,为推导公式方便，令：,设k是的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，则：,因为：,将E(,A)对4K个系数分别求偏

38、导，令其等于零，共有4K个方程可以解得4K个未知数。,所以有：,将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：,式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。,同理求得:,上面这些偏导数的求解算法，均编在计算机程序内，开始假设一组初始值，按照公式确定Ag，进而求出使E(,A)最小的，然后这样继续迭代，直至E达到预定的要求为止。,在设计中对系统的零极点位置未给出任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。如果极点在单位圆外，会造成滤波器不是因果稳定的，因此需要对单位圆外的极点进行修正，其方法是：用其倒数进行代换，把极点搬到单位圆内。,这种修正方法对幅度特性有影响：幅度特性的形

39、状不变化，但增益发生变化。,例6.6.2 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图(a)所示。截止频率s=0.1rad。,考虑到通带和过渡带的重要，在00.2区间，每隔0.01取一点i值，在0.2区间每隔0.1取一点i值，并增加一点过渡带，在=0.1处取|Hd(e j)|=0.5。,N=29，取k=1，系统函数为：,解：,1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09,0.5,=0.1,0.0,=0.11,0.12,:,0.19,0.0,=0.2,0.3,:,待求的参数是A，a1,b1,c1,d1。,设初始值=(0000.25)T，经过90次迭代，求得E=1.2611。,系统函数零、极点位置为：零点

40、 0.67834430j0.73474418;极点 0.75677793j1.3213916,为使滤波器因果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行62次优化迭代，求得结果为：,零点 0.82191163j0.56961501;极点 0.89176390j0.19181084;,Ag=0.11733978 E=0.56731,此时：,其幅度特性如图(b)中实线所示。,k=2时的幅度特性如图(b)中虚线所示。,三、在时域直接设计IIR数字滤波器,设计思想：,设希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，要求设计一个单位脉冲响应h(n)充分逼近hd(n)。,下面介绍这种设计方法。,设滤波

41、器是因果性的，系统函数为：,式中a0=1。,未知系数ai和bi共有N+M+1个。,取h(n)的一段，0np-1，使其充分逼近hd(n)，用此原则求解M+N+1个系数。,将上式改写为：,令p=M+N+1,则：,令上面等式两边 z 的同幂次项的系数相等，可得到N+M+1个方程：,h(0)=b0,h(0)a1+h(1)=b1,h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2,上式表明h(n)是系数ai,bi的非线性函数。,考虑到iM时，bi=0，一般表达式为：,由于希望h(k)充分逼近hd(k)，因此上面两式中的h(k)用hd(k)代替，即令h(k)=hd(k)，k=0,1,2,:,M+N,求解此二式可得

42、到 N 个 ai 和 M+1 个 bi。,1.对于无限长脉冲响应h(n)，这种方法只取(N+M+1)项，而(N+M+1)项以后的项不考虑。,注意：,2.这种方法限制了hd(n)的长度，使滤波器的选择性受到限制，不适合滤波器阻带衰减很高的情况。,3.这种方法得到的系数，可作为其它更好的优化算法的初始估计值。,实际中，有时要求给定一定的输入信号波形，滤波器的输出为希望的波形，这种设计方法属于时域的直接设计法。,设x(n)为给定的输入信号，yd(n)是相应的希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际滤波器的输出用y(n)表示，下面我们按照y(n)和yd(n)的最小均方误差求解滤波器的

43、最佳解，设均方误差用E表示：,下面具体介绍这种设计方法。,上式中，x(n)，0nM-1；yd(n)，0nN-1,为选择 h(n)使 E 最小，令：,由前面的公式可得到：,利用上式可以得到N个系数h(n)，代入下式：,可以求出 H(z)的 N 个 ai 和 M+1 个 bi 系数。,例6.6.2 设计数字滤波器，要求在给定输入x(n)=3,1的情 况下，输出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。,3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85,设h(n)长度为p=4，按照公式列写矩阵形式，得,解：,10h(0)+3h(1)=3.25,3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31,3h

44、(2)+9h(3)=0.03,列出方程：,解联立方程，得：,因此，滤波器的系统函数为：,a1=0.1824,a2=0.1126b0=0.3333,b1=0.0330,将h(n)以及 M=1,N=2 代入下式中，,h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109,得：,y(n)=0.3333x(n)+0.0330 x(n-1)0.1824y(n-1)+0.1126y(n-2),将y(n)与给定yd(n)比较，y(n)的前五项与yd(n)的前五项很相近，y(n)在五项以后幅度值很小。,当x(n)=3,1 时，输出y(n)为:,相应的差分方程为:,y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012,而 yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。,放映结束,