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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念,滤波的目的为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例滤波技术包括:滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的,数字滤波器输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的器件,
2、经典滤波器A、按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通。B、按实现的网络结构分类 可分为无限长脉冲响应（IIR）滤波器；有限长脉冲响应（FIR）滤波器。,(6.1.1),(6.1.2),1、数字滤波器的分类：经典滤波器（有用频率与滤掉频率占用不同频带）低通、高通、带通、带阻等 现代滤波器（维纳滤波器、卡尔曼滤波器等）,图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2、数字滤波器的技术指标 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：,图6.1.2 低通滤波器的技术要求,通带边界频率,阻带截止频率,|H(e j)|幅频特性，表示信
3、号通过该滤波器后各频率成分衰减的情况 相频特性，反映各频率成分通过滤波器后时间上的延时情况,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB(分贝)数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：,(6.1.5),(6.1.6),3、数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器设计方法有两类：1）借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将；（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
4、 AF的技术指标。2）计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。FIR滤波器设计：窗函数法和频率采样法,6.2 模拟滤波器的设计,IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法：巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数,工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用
5、反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义,模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(6.2.1),(6.2.2),如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图表示。图中c称为3dB截止频率。,(6.2.3),(6.2.4),图6.2.2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标p,p,s和s给定后，根据模方函数需要设计一个传输函数Ha(s)，一般滤波器的单位冲激响应为实数。,(6.2.5),从给定的模方函数求出所
6、需要的系统函数的方法,a、令s=代入模方函数得到,并求其零极点,b、取 所有在左半平面的极点作为 的极点,c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取一半的零点构成 的零点,2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,(6.2.6),图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,(6.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,(6.2.8),为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为,
7、(6.2.9),设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，p=s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(6.2.10),(6.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(6.2.12),(6.2.13),
8、所以，总结求滤波器的系统函数Ha(s)的步骤如下：,将=p代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jp)|2代入(6.2.3)式中，得到：,将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：,由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(6.2.16),(6.2.14),(6.2.15),1、阶数N的确定方法：由技术指标p,p,s和s确定,(6.2.3),(6.2.4),(6.2.6),如果求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出,由(6.2.15)式得到：,(6.2.17),(6
9、.2.18),(6.2.14),(6.2.15),2、3dB截止频率c的确定：由技术指标p,p,s和s确定,由(6.2.14)式得到：,总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,(6.2.16),(6.2.12),(6.2.11),表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz
10、，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。,(2)按照(6.2.12)式，其极点为,按照(6.2.11)式，归一化传输函数为,(6.2.12),(6.2.11),直接查表，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000,式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。按照(6.2.17)式，得到：,将c代入(6.2.18)式，得到：,
11、将p=s/c代入Ha(p)中得到：,(6.2.17),(6.2.18),介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图分别画出阶数N为奇与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示：,(6.2.19),图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性,3.切比雪夫滤波器的设计方法,式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为,当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳出高阶切比雪
12、夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x)(6.2.20),图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,图示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；(2)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。,按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带内最大衰减p用下式表示：下,(6.2.21),因此,(6.2.22),(6.2.19),图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，
13、在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定：,(6.2.23),令s=s/p，由s1，有,(6.2.24),(6.2.25),可以解出,3dB截止频率用c表示，,按照(6.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(6.2.26),(6.2.19),以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(6.2.23),令s=s/p，由s1，有,(6.2.24),(6.2.25),上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(6.2.2
14、6),设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(6.2.27),式中,(6.2.28),(6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为,(6.2.33a),去归
15、一化后的传输函数为,(6.2.33b),下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1)确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为,(6.2.34),(6.2.35),2)求滤波器阶数N和参数。归一化频率由(6.2.19)式，得到：,(6.2.19),将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：,令,(6.2.36),(6.2.37),求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数,按照(6.2.22)式求。,(6.2.22),3)求归一化传输函数Ha(p)求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。,(6.2.27),将极点
16、pk代入(6.2.33)式，得到：,4)将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即,(6.2.38),(6.2.39),例6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解(1)滤波器的技术指标：,(2)求阶数N和：,(3)求Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,(4)将Ha(p)去归一化，得到：,(6.2.38),4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 1)低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如
17、果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,(6.2.41),(6.2.40),和 分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率,图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性,阻带边界频率s,通带边界频率p,模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带边界频率p，阻带边界频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定归一化低通技术指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的归一化频率转换成低通滤波器的归一化频率(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(p)，为去归一化，将p=p/s代入G(p)
18、中，得,(6.2.42),(6.2.40),解 高通技术指标：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术指标：,例6.2.3 设计巴特沃斯高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,/p,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,求模拟高通H(s)：,图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性,表6.2.2 与的对应关系,2)低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图所示。,通带下边界频率l，通带上边界频率u阻带下边界频率 s1，阻带上边界频率 s2 通带中心频率2
19、0=lu，通带宽度B=u-l,由与的对应关系，得到：,由表知p对应u，代入上式中，有,(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,(6.2.43),将(6.2.43)式代入上式，得到：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：,(6.2.44),(6.2.45),上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。,下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：通带下边界频率l，通带上边界频率u阻带下边界频率 s1,阻带上边界频率 s2 通带中心频率20=lu
20、，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2)确定归一化低通技术要求：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。,(6.2.45),例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dB
21、s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6,(2)模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833,p=3dB,s=15dB。,(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表，得,(4)求模拟带通H(s)：,3)低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。,图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性,通带下边界频率l，通带上边界频率u 阻带的下边界频率s1，阻带上边界频率s2 阻带中心频率20=ul，阻带带宽B=u-l,相应的归一化边界频率u=u/B,l=l/B,s1=s1/B
22、 s2=s2/B,20=ul,表6.2.3 与的对应关系,根据与的对应关系，可得到：且u-l=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得,(6.2.46),(6.2.47),(6.2.48),上式就是由归一化低通直接转换成带阻的计算公式。,下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：通带下边界频率l，通带上边界频率u阻带下边界频率s1，阻带上边界频率s2阻带中心频率20=lu，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减
23、p和阻带最小衰减s。,(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,(6.2.48),例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解(1)模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=u-l=220
24、0;l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25,(2)归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p):,(4)带阻滤波器的H(s)为,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,1、H(z)的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆，频率间成线性关系,2、因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的 H(z)，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1,设计方法：,-脉冲
25、响应不变法,-双线性变换法,数字滤波器的单位脉冲响应 模仿模拟滤波器的单位脉冲响应,1、脉冲响应不变法变换原理,T抽样周期,表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照映射关系，映射到z平面上，就得到H(z),图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系,2、频谱混叠,才能使数字滤波器的频响不会发生频谱混叠，即：,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为。若在时域抽样时满足时域采样定理，即模拟滤波器的频响是带限于折叠频率之内的，即,图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象,3、模拟滤波器的数字化方法,1)极点映射：设Ha(s)
26、只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,数字滤波器频响与采样间隔T成反比，故当采样频率很高时，即T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出。因此，希望数字滤波器增益与采样间隔T无关。故作以下修正：,令：,则：,若，则,2)修正,一般Ha(s)的极点sk是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在 式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为,(6.3.11),可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为,(6.3.12),如果模拟滤波
27、器二阶基本节的形式为,极点为,(6.3.13),(6.3.14),4、优缺点,优点：,缺点：,频率响应混叠只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好,频率变换是线性关系：,5、脉冲响应不变法设计步骤1）按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设计原型模拟滤波器，得。（如果是非低通滤波器则需进行变换）2）把 分解成部分分式求和形式，其中：是系统极点。（求出极点和系数）3）用变换式：对 进行变换，得数字滤波器系统函数。,例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解：首
28、先将Ha(s)写成部分分式：,极点为,那么H(z)的极点为,按照(6.3.4)式，并经过整理，得到,转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则,再按照(6.3.14)式，H(z)为,设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T=1s，则,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,为了克服脉冲响应不变法会产生频谱混叠这一缺点，采用非线性频率压缩法正切变换实现频率压缩：,(6.4.1)
29、,图6.4.1 双线性变换法的映射关系,1、变换原理,式中T是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。,双线性变换的映射过程,脉冲响应不变法的映射过程,再通过 转换到z平面上，得到：,(6.4.3),(6.4.4),(6.4.2),令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有,(6.4.5),图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系,(6.4.3),2、模拟滤波器的数字化,3、优缺点,优点：,避免了频率响应的混叠现象,s 平面与 z 平面为单值变换,除了零频率附近，与 之间严重非线性,缺点：,例试分别
30、用脉冲响应不变法和双线性不变法将图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解 首先按照图写出该滤波器的传输函数Ha(s)为,利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为,利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为,H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。,图6.4.5 例图H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z),图例6.4.1 图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性,下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰
31、减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。,脉冲响应不变法,双线性变换法,通带截止频率,阻带截止频率,通带截止频率,阻带截止频率,(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。,巴特沃斯低通滤波器,切比雪夫低通滤波器,脉冲响应不变法,双线性变换法,例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解(
32、1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB,设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。,取N=6。为求3dB截止频率c，将p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为,为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),(6.2.17),用脉冲
33、响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，按照下式变换得到：,图6.4.7 例图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性,(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为,设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：,取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。,(6.2.18),根据N=6，查表得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p
34、)，得实际的Ha(s)，用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：,图6.4.8 例图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性,6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,设计思想：,例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的
35、数字滤波器。,例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解(1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB,(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有,(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：,将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：,查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为,为去归一化，将p=s/c代入上式得到：,(5)将模拟低通转换
36、成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：,(6)用双线性变换法将模拟高通Ha(s)转换成数字高通H(z)：,实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即,例设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad 通带下截止频率 l=0.3rad 阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下截止频率 s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。,(2
37、)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有,(通带中心频率),(带宽),将以上边界频率对带宽B归一化，得到 u=3.348,l=2.348;s2=4.608,s1=1.498;0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率,归一化通带截止频率,p=1p=3dB,s=18dB,(4)设计模拟低通滤波器：,查表，得到归一化低通传输函数G(p),(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：,将上式代入(5)中的转换公式，得,将上面的p等式代入G(p)中，得,例设计一个数字带阻滤波器
38、，通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)数字带阻滤波器技术指标：l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB;s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB,(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有,阻带中心频率平方为 20=lu=0.421阻带带宽为 B=u-l=0.07rad/s,将以上边界频率对B归一化：l=8.786,u=9.786,s1=9.186,s2=9.386;20=lu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(6.2.48)式，有 p=1,p=3dB,(4)设计模拟低通滤波器：,(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：,(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。,
