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1、1/16/2023,1,第六节 稳定裕量,1/16/2023,2,前面我们用奈奎斯特曲线判断系统的绝对稳定性，即系统是稳定还是不稳定。当然一个系统只有稳定才是有用的。,但除此之外还有两个问题需要考虑。首先，由于赖以分析和设计的系统数学模型不可能十分精确，尽管对模型的分析结果是稳定的，而实际系统却可能并不稳定；其次，一个稳定的系统还必须有良好的过渡响应。,从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一定的安全系数。换句话讲，就是不仅关心系统是否稳定，还关心系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也称为稳定裕量。,本节将用频率响应方法来研究系统的相对稳定性。,1/16/2023,3,
2、用频率响应方法来研究系统的相对稳定性是利用开环频率特性的极坐标图与(1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不稳定的程度。,当K=K3时，极坐标图顺时针包围了(1，j0)点，因此，闭环系统不稳定。,当K减小到K2时，极坐标图将通过(1，j0)点，闭环系统处于临界稳定，此时闭环系统在虚轴上有极点。,当K小于临界值后，系统变成稳定系统，而且，随着K的进一步减小，系统的相对稳定性将越来越高。,1/16/2023,4,最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用极坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。,定义极坐标图穿过负实轴(此时j(w)=180)对应的频率为相角穿
3、越频率,用wg表示；,定义幅值A(w)=1对应的频率为幅值穿越频率，用wc表示。,当频率特性曲线穿过(1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：A(wg)=1,j(wc)=180,wg=wc。,最小相位系统稳定的条件为：当A(wc)=1时，j(wc)180当j(wg)=180时A(wg)1,1/16/2023,5,可以用A(wg)和j(wc)来表示频率特性曲线接近(1,j0)点的程度，或称为稳定裕量。稳定裕量越大，相对稳定性越好。,定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕量，即,定义：幅值穿越频率时的相频特性与180之差为相角稳定裕量。即,Lg称为对数幅值稳定裕量或增益稳定裕量，由于
4、Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳定裕量。,在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即,1/16/2023,6,1/16/2023,7,显然，当Lg0时，即A(wg)1和g 0时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg0和g 0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳定裕量。常用相角裕量。,幅值稳定裕量物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳定裕量是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。,相角稳定裕量的物理意义：稳定
5、系统在幅值穿越频率wc处将相角减小g 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位稳定裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在wc点所允许增加的最大相位滞后。,1/16/2023,8,增益稳定裕量反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而相角稳定裕量则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(jw)的相位的哪些系统参量的变化对稳定性的影响。,当Gk(jw)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(1,j0)点，则增益稳定裕量为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开环增益可达无穷大。,当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定，Gk(j
6、w)图必须逆时针包围(1,j0)点，在这种条件下稳定系统产生负的增益稳定裕量和负的相角稳定裕量。在这种情况下，首先必须确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计算稳定裕量的数值。一但稳定性被确定，稳定裕量的数值便直接表明稳定或不稳定的程度，稳定裕量的符号就没有意义了。,1/16/2023,9,除了相位稳定裕量和幅值稳定裕量之外，另一种相对稳定性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。,g 越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系统而言不可能选得非常大。一般可取g在3060，Lg 6dB相对稳定性较好。,1/16/2023,10,例单位反馈系统的开环传递函数为,试分别确定Kg=3、
7、Kg=30和Kg=300时的相角裕量。,当K=0.3，wc=0.288，g=72.3(近似值wc=0.3，g=71.6),当K=3，wc=1.583，g=23.3(近似值wc=1.73，g=20.2),当K=30，wc=5.12，g=-16(近似值wc=5.48，g=-18.4),1/16/2023,11,K=0.3,K=3,K=30,wc0.288g1=72.3,wc1.583g2=23.3,wc5.12g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,wg3.16,Lg31.3dB,Lg11.3dB,Lg-8.7dB,1/16/2023,12,K=0.3,K=3,K=30
8、,wc0.288g1=72.3,wc1.583g2=23.3,wc5.12g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,1/16/2023,13,令,1/16/2023,14,K=0.3,K=3,K=30,wc0.288g1=72.3,wc1.583g2=23.3,wc5.12g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,wg3.16,Lg31.3dB,Lg11.3dB,Lg-8.7dB,1/16/2023,15,一般而言，当L(w)在wc处的斜率处于20dB/dec段时，系统是稳定的；当L(w)在wc处的斜率处于40dB/dec段时，系统可能稳定也
9、可能不稳定，即使稳定，相位裕量g 也是较小的；当L(w)在wc处的斜率处于60dB/dec段时，系统一般是不稳定的，除非60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大于40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量g 也是非常小的。,1/16/2023,16,例 系统的开环传递函数为,由图可见wc约为0.3，对应 g=18相角极小点约为w=0.4，对应g=15.7,1/16/2023,17,解：相位稳定裕量和幅值裕量可以很容易地从波德图中求得。,当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕量和幅值裕量大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.,1/16/20
10、23,18,相位裕量和幅值裕量的计算：,相位裕量：先求穿越频率,在穿越频率处，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：,精确值：wc=1.22706388384778310685229949081 g=25.389823263353763546219968454993,1/16/2023,19,幅值裕量：先求相角穿越频率,相角穿越频率处 的相角为：,由三角函数关系得：,所以，幅值裕量为：,1/16/2023,20,当增益从k=10增大到k=100时，幅频特性曲线上移20dB，相频特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕量和幅值裕量分别是-12dB和-30度。因此系统在k=1
11、0时是稳定的，在k=100时是不稳定的。,1/16/2023,21,解：当k=10时，开环传递函数为：,手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20dB/dec的斜线至w=10；2、在w=1040之间画斜率为-40dB/dec的斜线；3、w=40后画斜率为-60dB/dec的斜线。,1/16/2023,22,上图蓝线为原始波德图。，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕量达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？,1/16/2023,23,，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝
12、数为:,所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕量是30度，这时的幅频稳定裕量为：由图中看出，所以,设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有（讨论 时较明显）。解得：,1/16/2023,24,带有延迟环节系统的相位裕度的求法：,设系统的开环传递函数为：，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。,左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为 和，相角裕量分别为。,显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕量必须大于零。即：,1/16/2023,25,稳定裕量概念使用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕量可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕量都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：,作业：5-13,5-14。5-12,5-16（选做）,1/16/2023,26,稳定裕量的概念使用稳定裕量概念综合系统,本节主要内容：,
