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1、4-1 物体的弹性性质和广义胡克定律,4-2 线弹性材料的本构关系,第四章 本构关系,4-3 各向同性线弹性材料的物理方程,一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：,应力与应变张量均为六个独立分量。则,4-1 物体的弹性性质广义Hooke定律,一.弹性的概念,如果材料 呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。,受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，,线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。,称为广义胡克定律的一般形式,呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。,在柯西弹性的基础上附加
2、等温绝热的外部环境条件，使 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。,二.广义胡克（Hooke）定律,即,广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。,其中,称为弹性常数，共81个系数，因 各 六个独立，缩减为36个独立的常数。,cmn和cijkl 的下标对应关系：,如，c22 c2222，c56 c2331,矩阵表示形式：,分别称为应力和应变列阵,称为弹性矩阵。其元素cmn为36个,其中,张量表示形式：,4-2 线弹性体的本构关系,如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。,根据热力学第一定律和相应数学推导，,有势
3、，,其势函数U0(ij)为物体单位体积的变形能（应变能）。,Green公式,由,同理,即,弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数,对 称,广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。,如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。,弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。,弹性对称,一.横观各向异性材料,相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。,x,y,z,弹性对称面,O,P(x,y,z),P(x,y,-z),y,设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性
4、主轴。,其中C为各向异性的弹性矩阵,现将z轴反向，考察其本构关系,x,z,仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。,体内一点P(x,y,z)的应力和应变为 和。则,在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变,但P点坐标和应力应变分量发生变化,由坐标变换,两坐标系三轴的方向余弦为,代入上式,由,比较得,例如比较 C 和 C 中的第一行,横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力,工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。,横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为,对 称,将 y 轴反向，不产生新的结果。,将 x 轴反向，仿前分析步
5、骤可得,二.正交各向异性材料,设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、y、z 三方向弹性性质各异。,具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。,综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为,对 称,正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。,煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。,工程上一般用三个弹性模量（Ex、Ey、Ez），三个泊松比（Poisson）（xy、yz、zx）和三个切变模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。,三.横观各向同性材料,具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有弹性对称轴）的
6、物体，称为横观各向同性材料。,y,z,x,x,y,z,O,设体内每一点存在一轴（z轴），在与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线方向的弹性性质均相同。,称该平面为各向同性面。,在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤，,设 xy 平面绕 z 轴旋转任意角度，,旋转前后应力应变关系不变，比较其弹性常数可得,对 称,所以，横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为,横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；,地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性材料。,工程上一般用两个弹性模量（Exy、Ez），两个泊松比（xy、z）和一个切变模量（G）表示。,四.各向同性材料,在横观各向同性的基础上，将 z
7、 轴反向，考察其反向前后的应力应变关系可得,对 称,所以，各向同性材料的广义胡克定律可表示为,各向同性材料独立的弹性常数只有2个,4-3 各向同性线弹性材料的物理方程,一.广义胡克定律的基本形式,对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开,令,则,其中,张量形式,（注：Lam原文所用符号为 和 而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lam常数 实际上被定义为切变模量G）,、G 称为拉梅（Lam）常数,此即广义胡克定律的基本形式，该形式数学表述简练，便于理论推导应用，但力学意义不能一目了然，不便于工程运用。,二.广义胡克定律的工程形式,将前六式反解，并令,则,此即广义胡克定律的工程形式，其中常数 E、G 和 是广为熟知的弹性模量、切变模量和泊松比。仅两个独立。,张量形式,其中,由,得,若用应变表示，反解或由基本形式代入即得,或,三.体积胡克定律,由,即,描述了体积应力和体积应变的关系,令,称为体积弹性模量,故,称为体积胡克定律,张量形式,或,所以,当 i j 时，因,三式相加为恒等式,即六对量仅五个关系,补充一个关系体积胡克定律,故,四.广义胡克定律的偏量形式,此形式便于塑性分析,五.弹性常数的关系,前述广义胡克定律的各种形式，涉及的弹性常数有五个,（E、G、K），但其中仅两个独立。各量可相互表出。,弹性常数互换表,弹性常数互换表（续）,
