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1、三维问题的复杂性:变量和方程多,无系统性的一般有效解法,需根据问题具体分析.如柱体扭曲,壳体问题,球体问题等,很多采用数值方法求解,其中球体问题在地学中应用广泛:研究地球的自由震荡,固体潮,以及地球内部应力分布等,弹性力学问题求解 三维问题,7.1 柱坐标系下弹性问题的基本公式,与极坐标系下的方程对比.,与直角坐标以及极坐标系下的方程一致.即胡克定律的形式与坐标系无关.,与极坐标系下的方程对比.,7.2 球坐标系下弹性问题的基本公式,物理方程与坐标系无关,7.3 球谐函数的定义和物理意义,球谐函数与三角函数的对比,蓝色为正,黄色为负,离远点的距离代表函数的数值,球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函
2、数)为:,分离变量,令:,得到两个公式:,对第二个公式，再次分离变量，令:,得到:,方程的解给出:,最后得:,其中 为伴随勒让德多项式，满足勒让德方程,表达式为,勒让德多项式的图形：,的图形:,一度地幔对流与二度地幔对流 Zhong et al.,2007,对于球面上的任一函数，可以展开为：,其中：,7.4 球对称情况下问题的简化,当球体受球对称外力和体力作用时，问题得到大大简化位移，应力，应变都只是r的函数,因为位移只是r的函数，得：,即,并记：,则对前式积分得：,需要将位移表示为应力。,再根据胡克定律：,得：,得到球体内的应力分布为：,例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布,由上面的例子，,换一种表达形式，,方程的解为，,应变为，,应力为，,代入得，,解得，,球壳内应力解为，（解的局限性),
