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1、数学物理方法B,理学院 冯国峰,数学物理方法B,1、基本方程的推导及基本概念2、分离变量法3、行波法与积分变换法4、贝塞尔函数5、勒让德多项式6、格林函数法,绪 论,常微分方程只能描述质点唯一随时间的变化而发生改变的规律。含有某未知多元函数的偏导数的方程称为偏微分方程。表示物理量在空间或时间中变化规律的偏微分方程称为数学物理方程。,绪 论,数学物理方程的基本任务：数学物理方程是以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象的，其基本任务有以下两个方面：（1）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；（2）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。,绪 论,数学物理方程的定解
2、问题：泛定方程：表达某类物理现象共同规律的数学表达式偏微分方程。定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括初始条件与边界条件。泛定方程+定解条件=数学物理方程的定解问题,绪 论,数学物理方程的显著特点：（1）它广泛地运用数学诸多领域的成果。自然现象是复杂的、多样的，数学物理方程中所研究的问题也是复杂的、多样的，所以要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。（2）数学物理方程源于工程实际问题，自然现象本身所蕴含的内在规律，对人们寻求解决问题的思路有着重要的启迪。数学物理方程中的许多重要求解方法，都可以在自然现象中找到它们的来源。,第1章 典型方程的推导及基本概念,数学物理方程中的三
3、个典型方程：弦振动方程 双曲型方程热传导方程 抛物型方程拉普拉斯方程 椭圆型方程,第1章 典型方程的推导及基本概念,（1）弦的微小横振动方程 问题设有一根理想化的细弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，设其线密度为，长度为l，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。研究弦作微小横向振动的规律。,第1章 典型方程的推导及基本概念,模型的分析：弦是一个力学系统，是一个质点组（是连续的而非离散的质点组，进一步说它是一个一维的连续系统），所以它的运动应符合牛顿运动定律，对它的简化假设如下：设弦在未受扰动时平衡位置是x轴，两端分别固定在 及 处，而其上各点均以该点
4、的横坐标表示。,第1章 典型方程的推导及基本概念,模型的简化：（1）弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线。（2）弦的振动是微小振动。即，从而 可以忽略不计。（3）弦是“柔软”的，整个弦总是可以任意变形，并无内力抵抗。,第1章 典型方程的推导及基本概念,受力分析：水平方向（x轴）：竖直方向（u轴）：,第1章 典型方程的推导及基本概念,应用模型假设得到的结论：应用牛顿（Newton）第二定律，得到：,第1章 典型方程的推导及基本概念,最后的结论：进一步假设：令自由横振动方程：,第1章 典型方程的推导及基本概念,若在振动过程中，还有弦上还受到一个与振动方向平行的外力，其方向垂直于x轴，设在t时刻
5、，弦的外力密度为，强迫横振动方程：,第1章 典型方程的推导及基本概念,一维：二维：三维：自由振动 强迫振动,第1章 典型方程的推导及基本概念,（二）在固体中的热传导方程 如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的不同而变化，因此解决热传导问题的实质是求物体内部温度的分布。我们用表示物体G内一点 在t时刻的温度，来研究在热传导过程中，温度函数 所满足的偏微分方程。,第1章 典型方程的推导及基本概念,取包含点 的一个小区域，讨论这个小区域内的热平衡，然后在设法过渡到点。设这个小区域的表面为
6、闭曲面，体积为V。设物体G的密度为比热容为，则温度变化为,第1章 典型方程的推导及基本概念,所需热量为傅里叶（Fourier）实验定律：称为物体在点 的导热系数。,第1章 典型方程的推导及基本概念,通过小区域表面流入小区域的热量为利用高斯（Gauss）公式化为三重积分，,第1章 典型方程的推导及基本概念,如果所考虑的物体内部没有热源，由热量守恒可得：非均匀的各向同性体的热传导方程：,第1章 典型方程的推导及基本概念,若物体是均匀的，即 为常数，则 或这里 称为拉普拉斯算子。此方程称为热传导方程（扩散方程）。,第1章 典型方程的推导及基本概念,如果在物体内部还有热源，则需要一个物体内部的热源函数
7、来标志其强度。用函数 表示热源的密度（单位时间单位体积中所产生的热量），,第1章 典型方程的推导及基本概念,（三）拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程三维拉普拉斯方程或调和方程：三维泊松（Poisson）方程：,第1章 典型方程的推导及基本概念,总结：1、波动型方程（含有关于时间t的二阶偏导数）：物理现象随时间剧烈改变。2、抛物型方程（含有关于时间t的一阶偏导数）：物理现象随时间缓慢改变。3、椭圆型方程（不含关于时间t的任何偏导数）：物理现象不随时间而发生改变。,第1章 典型方程的推导及基本概念,对于弦振动问题来说，一般弦的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦两端
8、所受的外界影响。对于一个特定的热传导过程，仅仅知道温度u所满足的方程是远远不够的，还需要知道物体在初始时刻的温度分布和物体在边界上的温度状况（或热交换情况），才能完全确定物体在以后时刻的温度。由于拉普拉斯方程和泊松方程描述平稳的物理现象，表示该过程的物理量与时间无关，所以只需边界条件，而无初始条件。,第1章 典型方程的推导及基本概念,（1）表征某过程初始时刻状态的条件称为初始条件。（2）表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件称为边界条件。,第1章 典型方程的推导及基本概念,第一类边界条件：在边界上直接给出了未知函数u的数值，即。第二类边界条件：在边界上给出了未知函数u沿的外法线方向的
9、方向导数，即第三类边界条件：在边界上给出了未知函数u与u沿的外法线方向的方向导数的线性组合的值，即,第1章 典型方程的推导及基本概念,这里的 都是定义在边界上的已知函数，若，则称相应的边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。,第1章 典型方程的推导及基本概念,偏微分方程中所含有的未知函数的最高阶偏导数的阶数，称为偏微分方程的阶。如果一个偏微分方程中的每一项关于未知函数及其所有偏导数（包括高阶偏导数）都为0次或1次的，则称该方程为线性偏微分方程，否则就称之为非线性偏微分方程。,第1章 典型方程的推导及基本概念,一个偏微分方程中不包含未知函数u及其偏导数（包括高阶偏导数）的项称为自由项。
10、自由项不为零的偏微分方程称为非齐次偏微分方程，否则为齐次偏微分方程。如果一个函数在研究区域中具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，将它代入该方程中能使方程成为恒等式，则称这个函数为该方程在研究区域内的一个解或古典解。,第1章 典型方程的推导及基本概念,初始条件与边界条件称为定解条件。由泛定方程与相应的定解条件构成的问题就称为数学物理中的定解问题。（1）由泛定方程和初始条件构成的问题称为初值问题或柯西（Cauchy）问题。（没有边界条件）。（2）由泛定方程和边界条件构成的问题称为边值问题。（没有初始条件）（3）既有初始条件、又有边界条件的定解问题称为混合问题。,第1章 典型方程的推导及基本概念,定解问题的适定性：定解问题的解的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则称此定解问题是适定的。,第1章 典型方程的推导及基本概念,叠加原理设 满足线性关系式式中，都是某区域上关于x，y的已知函数，则它们的线性组合 必满足方程,第1章 典型方程的推导及基本概念,特别是，若，则 是齐次方程的解。,
