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1、2-10 应力函数常体积力,一.常体力情况下的简化,当体力为常量时，,（2-21）容简化为：,(2-21a),(2-21b),拉普拉斯算子,（222）,注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数，而且对于两种平面问题都是相同的。因此，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体满足：a.相同的边界形状，b.受同样分布的外力，则不管两个弹性体的材料是否相同，也不管是在平面应力还是平面应变情况下，应力分量 的分布都是相同的。,应用：a.用实验方法量测结构的应力分量时；b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下，对于单连体的应
2、力边,界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便解答问题和实验量测。,设原问题中应力分量 满足：,(a),(b),(c),(d),比较(a),(b),(c),(d)，得到 满足：体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了 和 的应力边界条件。,于是得到求解原问题的办法：先不计体力，而对弹性体施加代替体力的面力分量 和，求出 以后，再在 和 上叠加上和，即得原问题的应力分量。,例如：如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。,先不计体力，而施以代替体力的面力。,C,A,B,D,E,F,h,h,C,A,B,D,E,F,2ph,ph,x,y,x,y,p,二.应力函数,为非齐次偏微分
3、方程组,结论：,当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。,研究（2-2）平及（2-22）容的求解,（222）,1.对应的齐次偏微分方程的通解,所以,必存在一个具有全微分的函数A(x，y),根据微分方程解的理论，(22）平的解由两部分组成：通解及其一个特解。,由第一式有,全微分充要条件,由第二式有：,（a）,（b）,(d),（c）,同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个函数B(x，y),比较（a）（d）两式,对应的齐次偏微分方程的通解：,平面应力函数（Airy应力函数）,同
4、理可以找到一个函数(x，y)，有,2.非齐次方程特解,3.平衡方程的解,（2-23）,将（2-23）代入（2-22）容,（2-22）容,可记为：或,这里（x，y）为双调和函数,注：满足,的函数称调和函数,展开后：,（224）,结论：,1.当应力函数为满足双调和方程的双调和函数时（223）可以同时满足（2-2）平及（2-22）容，故（223）为（2-2）平及（2-22）容的解。,（224）为用应力函数表示的相容方程。,2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-24）容求出应力函数，然后由平衡方程的解（223）求出应力分量，并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，
5、及位移单值条件（多连体时）。,多连体的位移单值条件,单连体：具有一个连续的边界。,多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。,位移单值条件：一点处的位移是单值的。,*按应力求解时，对于多连体，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量。,例题,解：1.满足平衡微分方程,将x=y=-q,xy=0代入,故满足平衡方程,条件，也满足位移单值条件，是问题的解。,任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q，试证明：,满足平衡方程、相容方程和应力边界,2.满足相容方程,3.满足边界条件：,将x=y=-q,xy=0代入，自然满足,4.位移单值条件：,2）求位移：,满足,1）求应变：,代入（3）得,于是有：,由（1）式积分,由（2）式积分,由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。,积分：,上式为线性函数，为单值函数。,1、平衡微分方程,（2-2）,公式,2、相容方程,3、应力边界条件,（2-22）,（2-15）,
