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1、概率论与数理统计复习重点第一章随机事件与概率1 事件的关系AUBAuBABA-BAQAB-2 .运算规则(1)AUB=BUAAB=BA(2)(AUB)UC=AU(BUC)(AB)C=A(BC)(3)(AUB)C=(AC)U(BC)(AB)UC=(AUC)(BUC)(4)AUB=ABAB=AUB3 .概率P(A)满足的三条公理及性质：(1) OP(A)1(2)P(Q)=IP(WA)=2P(A)(3)对互不相容的事件，凡，有y仁(“可以取8)(4) P(0)=(5)P而=I-P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB),若auB,则P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)P(B)(7)P(A
2、UB)=P(A)+P(B)-P(AB)(8)P(AUBUe)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率P(AB)P(AB)=-定义：若PB)。，则P(B)乘法公式：P(M)=P(B)P(AIB)若用,B?,Bn为完备事件组，P(BJ0,则有P(A)=XP(Bj)P(AlBj)全概率公式：Bayes公式:P(BMA)二兽&现EP(BJP(AlBJi=i7.事件的独立性：AB独立OP(AB)=P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布，(2)离散随机变量：取有限或可列个值，P(X
3、=XJ=Pi满足(1)PiP(XED)=pi(3)对任意DUR,JQ连续随机变量：具有概率密度函数”刈，满足(1)，对)二P(QXb)=/f(x)dX;对任意qR,P(X=Q)=O几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(LP)P(X=I)=P,P(X=0)=q=1-pPPq二项式分布B(HP)P(X=k)=CPkqM,k=o,L2,”np叩qPoisson分布P()P(X=k)=e011下正态分布H,)1l分布函数F(X)=P(X),具有以下性质(1)F(oo)=0,F(+)=1.(2)单调非降；(3)右连续;(4)P(QVXb)=F(b)-F(Q),特另jP(Xq)=1
4、F(q)；F(X)=Pi(5)对离散随机变量，U仝；(6)对连续随机变量，F(X)=J(0df为连续函数，且在x)连续点上,F,()=f()正态分布的概率计算以(X)记标准正态分布N(O,1)的分布函数，则有_X-(1)(O)=O.5；(x)=1(x)；(3)若XN(,2),则一().(4)以先记标准正态分布NOD的上侧分位数，则P(Xua)=a=1-(uJ随机变量的函数y=g()(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g()在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则G(y)=fx(g(y)l(gT(y)l,若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量二维离散随机向量，联
5、合分布列P(X=X/=力)=Pi/,边缘分布列P(X=Xj)=PP(Y=Vj)=Pj有(2)VPij =1Pi=PijPj=Pij(3) J，二维连续随机向量，联合密度x，y),边缘密度f(x),G(y),有f()0;(2)f(x，y)=i；(3)p(x*gG)=JJ()%(4)f()=ff(My,。(力=ff(,y)df(x,y)=lm(G)(y)eC二维均匀分布B0，其它，其中m(为G的面积二维正态分布(X，Y)N(4,2,o；，5，P),其密度函数(牢记五个参数的fM=一”e碓白丝算-2空&S+部含义)2r12l-p202(1-p)01q%加且xN3M),yNg,5);二维随机向量的分布
6、函数F(,y)=P(x,vy)有(1)关于XJ单调非降；(2)关于XJ右连续；(3) F(x,8)=F(8,y)=F(co,-8)=0；(4) F(+oo,+8)=1,F(f+)=Fx()fF(+,y)=F(y).(5) P(XIVX2fyiYy2)=F(x29y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1).,2F(x,y)f(x,y)=JLZ(6)对二维连续随机向量，眄(6) 机变量的独立性XJ独立=F(x,y)=F(x)6(y)离散时x，V独立OPu=PiPJ连续时x，y独立Of(,y)=G()G(y)二维正态分布X，V独立Qv=,且X+YN5+%，。；+5)(7) 机变量的
7、函数分布和的分布z=X+丫的密度f=SJzydy=!Jzdx最大最小分布第四章随机变量的数字特征1 .期望一“E(X)=WXiPiE(g(X)=Wg(X)Pi图散时i,i;(2)连续时E(X)=CXf“，E(g(X)=j：g(x)f(x)dx；(3)二维时E(C)IgM)P,E(g(XM)=g(,y)f(,y)dxdyE(C)=C；(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E”(7) X，Y独立时，E(Xy)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差O(X)=E(XE(X)2=E(2)(EX)2,标准差。(X)=JD(X)；(2) D(C)=O,D(XcC)=D(X);(3)
8、D(CX)=C2D(X).(4) %F独立时，D(X+V)=D(X)+D(Y)3 .协方差(1) Cov(XiY)=E(X-E(X)(y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(2) Cov(XfY)=Cov(YfX),Cov(aXfbY)=QbCOV(X,丫).(3) Cov(X1+X2,Y)=Cov(XpY)+Cov(X2,Y).(4) C(X,V)=O时，称,y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价；(5) D(X+Y)=D(X)+D(V)+2Cov(X,Y):COV(X,丫)4 .相关系数Xy-。(X)O(Y).有ZI1,IPxy|=103,b,P(Y=aX+b)=15 .k
9、阶原点矩为=E(X，k阶中心矩”二E(XE(X)第五章大数定律与中心极限定理1uu才笺TPXE(X)H23pXE(X)vel21 .ChebySheV不等式或2 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量X-X2,Xn独立同分布E(XJ=,D(Xj)=。2,则nn1n2.WXl一门WXi扁Nm4,。2)一WXjN3-)、=rN(OtV)in近似，或“i=*近似n或品。近似，(2)设m是，次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=P,则对任意X,1.nfm-叩,1小/、limP-7=-X=()N/mnc有闹或理解为若XB(n,p),则X益(P，Pq)第六章样本及抽样分布L总体、样本简单随机样本：
10、即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)；样本数字特征：X=-ZXiD(X)=样本均值“匕(E(X)=,n)；S2=-(Xi-X)222样本方差niy(E(S2)=d)样本标准差S二岛Fyk=-x-k=L2(Xi对样本k阶原点矩回,样本k阶中心矩y2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)1 1)/分布/=X；+X；+.+X；/2(“)，其中X1,X2,Xn独立同分布于标准正态分布N(U),若X-z2(1),V-Z2(H2)且独立，则X+y-Z2(1+2);t,-t()22 2)分布而,其中XN(O,1),Y力(”)且独立；F=XI
11、nl3 3)F分布y/n2,其中且独立，有F(2,%),F(,%)=-7下面的性质f巳(电,川)4 .正态总体的抽样分布(1)X-N(f2n),氏产 % S)(3)-T）/z ，且与X独立;(4)t=t(n - 1)Sn(5)(X-F)-(z1-2)I-SerS*22)2.(H1-I)Sf+(n2-1)S-CH1 + H2 - 2(6)第七章参数估计1.矩估计:（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计5 .极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0,解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为minJJ或maJJ）6 .估计量的评选原则（1）无偏性：若E（O）=6,则为无偏；（2）有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4.参数的区间估计（正态）参条件估计函数置信区间数已知X-U二Tynx彳Ua?r2未知X-Ut=7ixt(-l)22未知2=mi)s?2r(-l)s2(-l)s2Za(l),Z2(-1)-122
