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1、.,1,讲课人：朱群英,牛吃草问题,.,2,牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场。,.,3,牛吃草问题的历史起源,英国数学家牛顿(16421727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起在牛顿的普遍的算术一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。,.,4,牛吃草问题的公式
2、,解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 假设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；,.,5,2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。,.,6,由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。,.,7
3、,牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。,.,8,这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较草少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草量。,.,9,解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般
4、把面积统一为“1”相对简单些。,.,10,例题解析,.,11,例1 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供4 头牛吃15天，或供8头牛吃7天。可供多少头牛 吃5天？,解：设1头牛1天的吃草量为单位1，每天长草（415-87）（15-7）=0.5 原有草 415-0.515=52.5 5天可供养牛的头数（52.5+0.55）5=11 答：可供11头牛吃5天,.,12,例2 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供 10头牛吃20天，或供15头牛吃10天。可供25头 牛吃几天？,解：设1头牛1天的吃草量为单位1，每天长草（1020-1510）（20-10）=5 原有草 1020-520=100
5、5天可供养牛的头数 100（25-5）=5 答：可供25头牛吃5天,.,13,例3 某火车站检票口,在检票开始前已有一些人排 队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站,如果只有 一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟 就没有人排队?,解：检票开始前原有人258-108=120则检票开始后没有人排队分钟数120（252-10）=3 答：检票开始后 3 分钟就没有人排队,.,14,例4 由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多，反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供20 头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算可供
6、多少头牛吃10天？,解：设1头牛1天的吃草量为单位1，每天减少草（205-156）（6-5）=10 原有草 205+105=15010天可供养牛的头数（150-1010）10=5 答：可供5头牛吃10天,.,15,例5 有一牧场，可供21头牛吃20天，25头牛吃15 天，现有若干头牛，吃了6天后卖了4头，余下 的牛再吃2天将草吃完，问原有牛多少头？,解：设1头牛1天的吃草量为单位1，每天长草（2120-2515）（20-15）=9 原有草 2120-920=240 假设没有卖牛吃了 6+2=8 天，则草地上的草应该增加 42=8（份）原有牛数（240+24+98）8=40（头）答：原有40头牛
7、,.,16,例6 22头牛吃33公亩牧场的草，54天吃完；17头牛吃同牧场28公亩的草，84天吃完。几头牛吃同牧场40公亩的草，24天可吃完？,解：设1头牛1天的吃草量为单位1，1公亩每天长草（1784 28-2254 33）（84-54）=0.5 1公亩原有草 2254 33-0.554=9 40公亩的草24天吃完，可供养牛的头数（940+0.52440）24=35（头）答：40公亩的草可供35头牛吃24天。,.,17,例7 自动扶梯以相同的速度往上行使,两位性急的孩 子要从扶梯上走上去。已知男孩每分钟走20个 梯级,女孩每分钟走15个梯级,结果男孩用了5分 钟到达梯顶,女孩用了6分钟到达梯
8、顶,问扶梯共 有多少级?,解：扶梯每分钟上行（205-156）（6-5）=10（级）所以总共有 205+105=150（级）答：扶梯共有150级。,.,18,例8 甲、乙、丙三个仓库，各存放同样数量的大 米，甲库用皮带输送机一台和12个工人5小时把 库房搬空，乙库用皮带输送机一台和28个工人3 小时把库房搬空，丙库用皮带输送机2台，如果 要2小时把库房搬空，同时还需要多少名工人？,解：设一个工人1小时的工作量为1，则一台皮带输送机1小时的工作量为（283-125）（5-3）=12总工作量（12+12）5=120 则丙库2小时搬空需要工人数120 2-122=36 答：还需要36名工人,.,19,例9 快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿 同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用6 小时，10小时，12小时追上骑车人，现知道快 车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20 千米，问慢车速度是多少？,解：骑车人每小时速度（20 10-24 6）（10-6）=14（千米）则车辆初始点距骑车人的距离（24-14）6=60（千米）慢车每小时的速度60 12+14=19（千米）答：慢车每小时的速度为19千米,
