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1、,数值逼近,1,1.函数插值,2.数值积分和数值微分,3.曲线拟合,2,数值微分复习课,A类：差商求导,B类：插值型求导,3,数值微分复习课,A类：差商求导,4,1、向前差商截断误差,2、中心差商截断误差,1、向后差商截断误差,5,课堂练习A：函数f(x)由下表给出，用差商公式计算x=0.00、0.20、0.40处的二阶导数值,解为求二阶导数值，须先求出上表中各点的一阶导数值，结果如下表,其中：f(0.00)用向前差商计算；f(0.40)用向后差商计算；其余各点用中心差商计算。,6,再用向前差商计算f”(0.00)；用向后差商计算f”(0.40)；用中心差商计算f”(0.20)：,7,数值微分
2、复习课,B类：插值型求导,两点公式，已知两点(xi,f(xi)、(xi+1,f(xi+1)：,8,三点公式，已知三点(xi,f(xi)、(xi+1,f(xi+1)、(xi+2,f(xi+2),解：x0=1.0，x1=1.1，x2=1.2；h=0.1,课堂练习B：用三点公式求 在x=1.0，1.1，1.2处的导数值，f(x)的函数值如下所示,11,数值积分复习课,插值型求积公式,代数精度,代入尽可能多的多项式x0,x1,x2,x3,xm去测试左右是否相等。最高阶的满足项m就称为m阶精度。,课堂练习C：已知,(1)推导以这3个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式。(2)指明求积公式所具有的代数
3、精度。(3)用所求公式计算。,解:(1),所以该插值型求积公式为,(2)求代数精度，f(x)分别取1，x，x2,x3，代入求积公式,左边=1,右边=,左=右,右边=,左边=,左=右,左边=,右边=,左=右,右边=,左边=,左=右,右边=,左边=,左右,所以该公式具有3次代数精度,（3）计算积分值,细分插值型求积公式,17,18,19,20,21,分别将f(x)=x0、x1、x2、x3、x4等代入I(f)和S(f)，可验证具有m=3阶代数精度。,22,L2(a)=f(a)；L2(b)=f(b),23,令,取a=0,b=1,f(a)=1,f(b)=0.5,解,24,由梯形公式计算,用辛普森公式计算
4、：取x0=a=0,x1=(a+b)/2=0.5,x2=b=1为积分节点,f(x1)=f(0.5)=2/3，则有,因为,25,所以两种方法的误差估计分别为,两种方法的实际误差分别为-0.056853-0.001297都分别在估计范围内,26,27,28,29,6.,解：利用给定的精度和两种方法的余项公式进行计算,0 x1,由复化梯形截断误差公式，得,解得,所以积分区间应等分213份，节点为n+1=214个,由复化辛卜生截断误差公式，得,所以积分区间应等分8份，节点为2m+1=9个,解得,32,33,课堂练习F：利用复化梯形积分的自适应算法计算 下面的积分，使误差不超过0.510-6。,34,课堂练习G：用龙贝格方法计算下列积分,要求精确到10-2,解：（1）,（2）将区间0，1二等分，x=0.5是新 分点，得,在区间0，1上使用梯形公式，得,（3）再将区间等分，增加的分点为,（4）将区间再等分，增加的分点为,（5）将区间再等分，增加的分点为,注意:什么时候停止计算?,39,数值微分,差商求导,插值型求导,两点公式,三点公式,数值积分,插值型积分（代数精度）,梯形公式,辛普森公式,复化梯形公式,复化辛普森公式,自适应积分公式,龙贝格积分公式,
