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1、深化数学课程改革落实数学核心素养,一、课改的背景和任务,教育改革是社会发展改革整体的有机组成部分，以国家社会发展改革为背景，要结合国家社会发展与改革的需要来思考。进入国家治理阶段，与国家统治、国家主导阶段不同，最根本的着眼点是深化综合改革，理顺各方面的关系。教育改革也要抓住“深化”、“综合”的要求而持续推进。,五中全会精神,十八届五中全会公报中，强调创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念。坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展全局的核心位置，不断推进理论创新、制度创新、科技创新、文化创新等各方面创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新在全社会蔚然成风。,推动物质文明和精神文明协调发展，加快文化改
2、革发展，加强社会主义精神文明建设，建设社会主义文化强国，加强思想道德建设和社会诚信建设，增强国家意识、法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，弘扬中华传统美德。,开放发展，提高教育质量，推动义务教育均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类推进中等职业教育免除学杂费，率先从建档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助全覆盖。,全面提高教育质量,“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，加强社会主义核心价值观教育，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。深化教育改革，把增强学生社会责任感、创新精神、实践能力作为重点任务贯彻到国民教育全过程。”推动义务教育均衡发展，
3、全面提高教育教学质量。,我国教育的规模问题已经解决。2010年教育发展与改革的中长期规划纲要中提出，我国教育面临的主要任务是解决内涵质量的问题，解决育人模式改革的问题。这就需要在已有课改的基础上深化改革，而我们面临的问题错综复杂，许多都是两难问题，因此改革具有综合性，需要整体考虑。,课改的根本任务：立德树人,以核心素养为纲中国学生发展核心素养：学生发展核心素养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。三大领域的9大素养：社会参与领域的社会责任、国家认同、国际理解；文化修养领域的人文底蕴、科学精神、审美情趣；自主发展领域的身心健康、学会学习、实践创新。,科学精神,主
4、要是个体在学习、理解、运用科学知识和技能等方面表现的价值标准、思维方式和行为规范。具体指标是：崇尚真知。重点是认识科学本质与价值，养成崇尚科学的精神；掌握基本的科学知识与技术，形成科学思维的方式与习惯；追求真理，坚持真理，不畏权威。,理性思维。重点是具备严谨求实的科学态度，形成实事求是、求真务实的知行方式；具备较强的抽象思维与逻辑推理能力；能运用归纳与概括、推演与计算、模型与建模等理性思维方法来认识和探讨各种自然与社会现象，解决各种问题。勇于探究。重点是能够坚持不懈地探究科学问题；能够基于问题提出设想，收集证据，合理分析论证并得出结论、做出解释和交流结果；初步形成设计与执行实验、进行定性和定量
5、分析的能力。,学会学习,主要表现为个体在学习态度、方式、方法、进程等方面的选择、评估与调控，具体指标是：乐学善学。重点是理解学习的意义，形成终身学习的意识；善于把握知识内在联系，注重知识形成过程与迁移运用；具备较强自学能力，善于与他人合作学习，具备自主学习和资源利用的能力；养成适应教育信息化时代的学习方式与学习习惯。,勤于反思。重点是理解自己的学习状况与特点，懂得监控、反思、调整和评价自己各方面的学习状态；根据自己的学习风格和特长，积极运用和主动调适各种有效学习策略和方法；善于领悟别人的学习经验并有效地改进自己的学习。数字学习。重点是具备较强的信息意识，能明确信息需求，有效获取、处理、判断、分
6、析、评价和应用信息；主动适应“互联网”等社会信息化趋势；具备信息化社会相应的安全意识、社会道德与伦理行为。,实践创新,批判质疑。重点是具备强烈的探索意识与批判精神，以开放心态和辩证思维看待事物；能从不同视角分析问题，敢于对前人的观点提出质疑，敢于提出自己不同的看法与观点；能坚持独立判断、不随大流。问题解决。重点是具有强烈的问题意识，善于发现与提出问题；能综合运用各种知识合理地解决问题；能通过发散思维和丰富想象力创新性地组合知识解决问题；具有创客意识，善于将创新想法付之于实践。,学科教学以学科核心素养为纲,学科核心素养学科为学生提供什么、知识所蕴含的长期利益是什么。数学学科核心素养：数学抽象、逻
7、辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。不是去学科化，而是学科本质化，学科教育在人的发展中要做出哪些独特贡献；不是为了考试的功利性目标。,二、数学课改的核心任务,十八大提出的“教育的根本任务在于立德树人”就是整个教育改革的核心任务。数学教育的核心任务是“数学育人”。如何把这个要求在数学教育中落实下来，在课程教材中体现出来，在课堂教学中实施下去？要把“立德树人”的要求具体化，体现在教学内容和教学过程中，转化为一种可操作的行动，转化为数学育人的具体措施。,教育部的顶层设计，数学学科的“立德树人”目标，首先体现在数学学科的核心素养上。义教课标中提出了八个“核心概念”：数感、符号意识、空间观念
8、、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想；高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，要有具体措施，要把数学学科核心素养的培育落实在数学教育的各个环节。,三、提升学生核心素养的思考点,“学科育人”要依靠学科的内在力量。“数学育人”要用数学的方式，在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用。从数学的学科本质出发开展思考和研究：数学到底是一门怎样的学科？其独特的、别的学科不能替代的育人功能到底在哪里？怎样教才能实现这些育人功能？这样教的效果如何？,树立课
9、程意识,（1）我教的是一门怎样的课课程性质（2）这门课能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么课程目标（3）如何教这门课课程实施（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功能课程评价,数学是这样的学科,数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学对于发展学生的思维是至关重要的。数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式阅读、表达的工具。,数学学科的独特育人功能,主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上
10、，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考，使学生成为善于认识问题、善于解决问题的人才。学会使用数学语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。,怎样才算读懂了这段教材,人教版七年级上册4.3 角（1）对一个几何图形角的完整研究。一般而言，研究一个几何图形，其基本结构是：引入概念性质联系应用角与线段、面积、体积等一样，需要解决度量与计算问题。,（2）定义一个几何对象需要做哪些事？观察与分析：典型、丰富的具体事例的共同特征；归纳与概括：本质特征、概念内涵、要素等，下定义；表示：图形表示、符号表示、语言表示；分类思考：为何要分类？如何分类？,（3）关于角的度量,认识几何度量的五个阶段量的
11、初步认识（直观感知“量”，直观或直接比较“量”的大小）；量的间接比较（用非标准单位或用另一个量为“中介”比较）；认识国际通用单位并用其描述大小；国际通用单位体系的认识与换算；利用公式求量的大小（只有面积和体积有此阶段）。,之所以有相同的认识过程，是因为这些几何量的数学结构相同，核心要素是：度量单位（从不标准单位到标准单位，并形成单位体系）；单位的个数就是量的大小。度量的性质是：运动不变性；叠合性；有限可加（减）性；不可公度性。,在这些“量”中，“长度”（一维空间的延展）是最基本也是最简单的，其次就是面积（二维空间的延展）。因此，解决几何度量问题，核心思想是把研究对象看成一个“量”，并用一个数来
12、描述它。而学习的五个阶段，就是从定性到定量，最终用一个数来描述几何量，或建立一个公式来求几何量的数值。这里是衔接小学阶段，完善角度制，同时提及弧度制；介绍角的测量工具。,（4）关于角的性质,思考：什么叫角的性质？如何研究角的性质？几何学研究几何图形的形状、大小和位置关系，大小关系是最基本的性质；特殊的大小关系也是性质；等。于是有：角的大小比较如何比？定性、定量角的特殊关系相等，引申出角的平分线、三等分线，如何作图？（尺规作图不能问题）,特殊的大小关系：余角、补角。对于特殊的图形、关系，一般有两个互逆问题：性质、判定。所以，这里有进一步的问题是：角平分线的性质与判定，余角、补角的性质与判定。,（
13、5）关于角的计算,主要是两类：和、差、倍、半等的作图问题，注意：作图也属于计算；度分秒的换算问题。,以数学知识为载体发展学生的核心素养,数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想象等素养；对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析实际问题，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。,“两个过程”的合理性,从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理
14、性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。,以发展学生数学素养为追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教材内容，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会。以“事实概念性质（关系）结构（联系）应用”为明线；以“事实方法方法论数学学科本质观”为暗线。,从数学思维、思想或核心素养角度看,“事实概念”主要是“抽象”（对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念）；“概念性质”主要是“推理”，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑
15、）演绎推理证明性质；“性质结构”主要也是“推理”，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；“概念、性质、结构应用”主要是“建模”，是用数学知识解决数学内外的问题。,在整个教学过程中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上要及时引导，以使学生明确思考方向。“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然”；“启发学者，示以思维之道耳”。当前的教学，主要问题是数学没有讲好，老师不知道如何“示以思维之道”，教材对此应当有所作为。,四、
16、教师专业发展的三大基石,理解数学理解学生理解教学特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。,“理解数学”到底要理解什么？,理解数学理解数学知识的意蕴。知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。,只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生
17、的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在。,从培养创新人才出发,应围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究路径，如何形成研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。,例1 几个“简单”概念的理解,空间中的“位置”差异用什么表示？空间中的“方向”差异用什么表示？如何刻画直线的“
18、直”？如何刻画平面的“平”？,“位置”是宇宙空间的最基本要素，位置用“点”表示；直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用有向线段的长度表示；两个“方向”的差异用角度表示；直线的“直”用点与点、点与线之间的位置关系来刻画；平面的“平”用点、直线与平面的位置关系刻画，特别是用直线的直来刻画。,例2 从自然数系到有理数系,什么叫自然数？如何引入自然数？为什么要引入分数、负数？如何理解分数概念？如何引入分数、负数？什么叫加法？什么叫乘法？什么叫乘方？,自然数乃是大自然之数。自然数系是人们用来数“个数”的工具，其本质是一个顺序排列的体系，它是以1为起点，然后逐个加1以至无穷而生成的。所以，自然数系
19、最原始根本的结构是“+”运算。自然数系的运算及其运算律是代数学的出发点。代数的根本在于数的运算和运算律。,由自然数系最根本原始的结构，可以归纳地定义自然数系的加、乘和乘方运算：加法是“+1”的复合，即a+(n+1)=(a+n)+1；乘法是自相加的缩写，即(n+1)a=na+a；乘方是自相乘的缩写，即an+1=ana。以这些定义为起点，用数学归纳法可以证明算术运算的运算律。,数系扩充的基本思想,数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。
20、,“有理数”的结构,背景引入现实的背景、数学内在的逻辑必然性；定义外延列举式；表示符号、图形；分类分类标准的确定；性质相反数、绝对值、大小关系等；运算和运算律如何定义运算法则？运算法则需要证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律如何证明？为什么（1）（1）1？,这段教材是如何渗透数系扩充基本思想的使算术运算的运算律保持不变。,理解数学知识的三重境界,知其然 知其所以然 何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！,五、数学思维再认识,思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。思维的工具是语言；思维的形式是概念、
21、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。,一个结构,数学地认识事物的基本结构：定义概念推导性质建立联系实践应用。先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。,两个方向（方面）,数学思维有两个相辅相成的方向或方面归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的
22、本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。,代数归纳地发现,三种语言,数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。,四种形式,数学思维的基本形式：逻辑推理代数运算几何直观数形结合,逻辑推理,逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论
23、的思维过程。认识问题的要点在于把握好本质，发现问题；解决问题的任务是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。,代数运算,“代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。,例3“整式的乘法”如何教,立意：构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考，把学生培养成为善于认识问题、善于解决问题的人才。关注的重点：数
24、学的整体性，代数基本思想，运算技能，发现和提出问题的能力。,1.为什么要学习本章内容？,运算代数学的根源在于代数运算，代数学这门学问所要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题。整式本身就是运算的结果；整式中的数和字母都满足运算律；整式的运算就是对数、字母符号运用运算律所进行的形式运算；前面已经学习整式的加减（利用分配律去括号，再合并同类项）。,接下来自然要学习整式的乘法、除法等。两个多项式相乘（用分配律）转化为单项式的乘积之和式用乘法的交换律、结合律和幂的运算性质（指数法则）得到单项式的乘积。所以，多项式乘法的基础是单项式的乘法，而单项式的乘法又以幂的运算性质为基础。通过归纳可以发
25、现，幂的运算最基本的形式是三类：aman，(am)n，(ab)n。,“整式的乘法”的逻辑线索,同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式的乘法单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式,2如何开篇？,重点：构建“先行组织者”，使学生明确本章的学习主线。思路一 从整体出发，逐渐分化从整式运算的整体出发，引导学生从宏观到微观，逐步寻找整式的乘法所需要的逻辑基础，将研究的问题具体化，进而构建整体研究思路，然后再按照知识的逻辑顺序逐步展开学习。,思路二 从一个“实际问题”出发，直接提出同底数幂的乘法的学习任务，再采用从具体到抽象的方法，从具体数字的运算中归纳出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则。,显然，
26、前一种立意高，思想性强，“数学味”更浓，课题的引入更加自然而水到渠成，能使学生切实地感受到学习同底数幂的乘法的必要性，同时还能更好地落实“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培养”。这样的安排，更加符合数学法则产生的原来面目，完美地体现了数学的整体观，课堂更加大气，能给学生更多智慧的启迪，思维的教学更加到位。,对“从学生现实出发”的理解,流行的做法：从现实情景、生活实例中抽象出研究的对象。本课也是先给一个具体问题，列出包含同底数幂的算式，再提出学习任务。更全面的认识：包括“生活的现实”和“数学的现实”。,“生活的现实”应该是学生熟悉的，与当前学习内容紧密相关，要尽量避免人为编造；“数学
27、的现实”是在数学知识发展过程中自然而然地提出的问题。随着数学学习的不断深入，学习内容的抽象程度不断提高，更应强调从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题。,学生已经学过整式的概念、加减运算，从“数式通性”的角度说，学习同底数幂的乘法的基础（即数的乘方）很牢固，因此，用前一种方式引入，不仅更能体现数学的整体性，更有利于创新精神和实践能力的培养，数学的思维训练价值更能得到充分发挥，而且也与学生的认知准备相适应，更能体现学习的自主性，也更能激发学生的学习主动性。,关于引入的教学设计,（1）前面我们学习了数的运算，学习了哪些内容？是怎样学习的（学习路径）？（2）整式运算，我们已学习了什么运算？能否类比数的
28、运算，猜想我们将要学习整式的哪种运算？,（3）探究活动：下面有四个整式，从中任选两个构造乘法运算：a2，a3，a3+ab，a+ab你能写出哪些算式？（只需列式，不要求计算）；试着将你写出的算式分类，你认为整式乘法有哪几种类型?,（4）小组讨论单项式乘多项式和多项式乘多项式的步骤。先由学生回答，教师帮助、补充（5）你认为在单项式乘单项式中，最基本的运算有哪些？学生思考并尝试回答，教师归纳、讲解：最基本的运算是am an，(am)n，(ab)n。出示课题。,3.乘法公式的理解和教学,乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，
29、字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）c=a，d=b时为平方差公式；（2）c=a，d=b时为完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。,提出问题的过程设计,（1）复习与引入问题1 前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说是怎么算的吗？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。,先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。,（2）公式的探究问题2(x+b)(x+d)可以利用公
30、式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。,（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题，自主发现一些公式？设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4；或推广字母个数(a+b+c)2。,几何直观,几何直观是利用几何概念抽
31、象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。几何直观用于表征代数关系，可以使信息变得容易理解。,例4 一个代数题的几何表征,某同学为了培养自己的爱心，决定在每一次用零花钱时，都省出真正用于自己消费的钱数的25%来资助与自己结对子的西部贫困生。今天他要用6圆零花钱，请问他真正用于自己消费的钱数是多少？已知a是b的125%，那么b是a的百分之几？,数形结合,用几何图形表示数量关系；把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果；这是数学思维的变通、灵活性的表现，也是数学发展的有力手段，坐
32、标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。,例5 一元二次不等式的解,因地制宜的具体思维方法,针对具体数学问题的思维方法：代入法、消元法、换元法、配方法、割补法、待定系数法、构造法、面积法、体积法；综合法与分析法、顺证法与反证法，数学归纳法是常用的思维方法。,数学思维,一个结构，两个方向，三种语言，四种形式演化出千变万化、赏心悦目的思维方法。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。好比一棵参天大树，“一个结构，两个方向，三种语言，四种形式”是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶。当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力集中到了“枝繁叶茂”的追求，而忘却了“根和主干”
33、的重要性。,六、注重数学的整体性，培养系统思维,整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体，体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。要瞻前顾后,数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的
34、集中表现。,例6 如何教“合并同类项”,同类项概念的重要性连接数式的纽带通过同类项概念把整式的加减运算转化为有理数的加减运算，是掌握合并同类项的关键，是构建数的运算与式的运算的整体联系的关键，对学习同类二次根式等概念具有启发作用。同类项概念与数位相联系，体现了代数概念的符号化、形式化特征，体现了代数思维的抽象化、一般化、结构化特征，是理解代数思维的一个切入点，有利于学生体验代数的起源。,传统教学的弊端分析,教学过程：举例分析共同特点归纳概括出概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项称为同类项。分析：形式归纳，缺乏同类项概念的纵向数学化过程，整体性、系统性都很弱。学生对新概念的同化过程不
35、充分，对同类项概念的背景内容没有准确把握，对概念的关键属性理解不透彻，造成机械学习。,学习结果举例,不明白为什么要给单项式分类，怎样给单项式分类；不明白为什么3和 是同类项；认为ab2与a2b是同类项（受单项式的次数这一关键特征的影响），教师纠正的办法是告诉学生根据定义它们不是同类项，结果是下一次还犯同类错误，因为学生没有理解定义的合理性。,如何教“同类项”概念？,引入同类项概念是为了给单项式分类，从而为整式运算做好准备。概念是对同类事物共同特征的刻画，概念教学要让学生经历共同特征的归纳概括过程。这里要关注“抽象化、一般化、结构化”这一代数思维的核心。,教学过程的设计,设计意图,在数的运算基础
36、上，用字母代替数，把数的运算变为整式的运算，使学生经历抽象化、一般化、符号化过程，体验代数运算的根源，体会字母参与运算的合理性，并为整个代数式的运算奠定基础。在数的运算启发下，学生可以自发进行简单的整式加减，使他们体验数学知识发生发展的自然、水到渠成而不是强加于人。,探索：怎样的单项式可以合并,问题1 为什么104a+201a=305a，150b101b=49b？学生说出“前一个等式中，各项的a代表同一个数；后一个等式中，各项的b也是同一个数”后，老师提炼：这里104a，201a，305a是同一类；105b，101b，49b也是同一类。看来，在单项式的加减中，“同一类单项式”才可以合并。,设计
37、意图,引入同类项概念是为了进行整式的加减运算。这里通过简单事例，使学生切实体验到“同一类单项式”才可以合并，既解决了引入同类项概念、对单项式进行分类的必要性问题，同时也引起他们探究同类项概念的欲望，从而自然而然地提出下面的问题。这里以数式发展的关联，解决了知识的“生长点”。,设计意图,给学生自主探索同类项概念内涵（要素）的机会，为牢固掌握概念奠定基础。对单项式进行分类，一方面是深化整式概念的理解，另一方面是让学生体会从数到式、从数的运算到式的运算的继承与发展的关系，同样是为后续代数式运算做必要的准备。,让学生自主探究，经历符号化、抽象化、概括化的思维过程，这是培养学生数学活动经验、学习代数思维
38、（从数字到符号、从特殊到一般、从程序到结构）的契机。实际上，学生会给出自己的分类标准，例如：有没有字母、字母是否相同、单项式的符号、单项式的次数等。这里就产生了课堂生成。,追问和提示，两个目的：一是从概念出发思考问题（概念给出了这类对象的内涵、要素，内涵、要素就是分类标准），二是强调“分类是为了运算”。从概念出发，单项式中含有数、字母、字母的指数、单项式的次数，这里给出了思考方向；“分类是为了运算”，可以帮助学生分析分类标准的合理性。,设计意图,围绕“能否运算”启发思考，引导学生把条件进一步精细化，得出“字母相同”、“相同字母的指数也相同”。为了使学生更好地理解“能否合并”，可以借助一些具体实
39、例（例如，不同商品不同定价，计算总价）。,注重整体性、培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。,七、发挥一般观念的引领作用,研究一个几何对象，一般而言，按照这样的线索展开的：从具体事例中抽象出共同特征，给出定义及其表示，并对研究对象进行分类，然后研究它的性质，在此基础上再研究“特例”，在整个过程中始终注重与相关知识的联系和应用。概括起来就是：背景定义、分类性质特例（性质和判定
40、）联系和应用。,上述每一个环节，都有一些基本问题需要思考，都要让学生掌握一些基本方法。例如：通过什么方法发现具体事例的共同属性，进而抽象出概念内涵？如何将几何对象进行分类？什么叫性质，如何发现性质？特例是怎么来的？哪些特例是值得研究的？从联系的角度发现更多的性质，哪些是具有基本重要性的？,例7 如何研究“三角形”,定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；明确研究对象基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于180”等；研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；,三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是
41、重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）。以上是定性地研究三角形的形状、大小（等与不等）、位置关系。,三角形的面积公式；相似三角形定理；直角三角形的勾股定理；直角三角形的边角关系（锐角三角函数），等等。解直角三角形；正弦定理、余弦定理。以上是定量研究三角形。,把三角形作为一个系统进行研究,明确研究对象（定义、表示、划分）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系；定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。,什么叫性质？,性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。问题：这里的“事物
42、内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？几何研究可以分为两大类问题：几何图形的结构特征 几何图形的位置关系,从三角形的“内角和为180”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。,从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。,两个几何
43、图形所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。研究两个几何图形的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何图形与其他几何图形之间是否形成确定的关系入手。,圆的几何性质,要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；相关要素：弦、圆周角你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？,同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所
44、对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？,八、为学生创造归纳的机会,唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事物的本来面目设计教学过程，才能真正达成教学方式的实质性变化。在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过“归纳演绎”而学习数学概念，关键是让学生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是学生能掌控自身学习过程的必要条件。当前应更加强调归纳。,例8 函数概念的归纳过程,四个基本问题（1）函数的现实背景各是什么？刻画了哪类
45、运动变化现象？（2）决定这些运动变化现象的要素是什么？（3）要素之间的相互关系如何？（4）可以用什么数学模型来刻画？,（1）是搞清楚这类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程；（2）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系”常常要借助于运算而建立对应关系；（4）是以“依赖关系”为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确。,一次函数,现实背景：物体作匀速直线运动，其特征是运动的速度（即位移与时间的比值）是一个定值。决定运动状态的要素：速度v、时间t和位移S。这里，v是
46、常量，t和S是变量；“速度是一个定值”是此类运动区别于它类运动的关键点，它的实际意义是在相同的时间段上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。,要素之间的相互关系,数学模型：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了各种各样的一次函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到一次函数模型y=kx+b。这里，特别要注意k和b的意义：b是初始条件；函数值y随自变量x的变化而变化的过程中，函数值的改变量与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝对值越大，改变得越快。这里特别要强调以实际问题为依托理解k，b的意义。,思考：二次函数概念的归纳过程该如何构建？反比例函数呢？,九、要使学
47、生掌握研究一个数学对象的具体方法,数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导保证高立意。好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。,例9“平面图形的旋转”的教学,课标要求（1）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。,（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的
48、连线经过对称中心，且被对称中心平分。（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。（4）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。,内容结构,概念和性质特例（性质）数学内部的应用实际应用其中，“概念和性质”是基础，是重中之重。,如何确定一个旋转的条件,平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋转变换，把一个图形从一个位置变到另一个位置。这里，图形从一个位置变到另一个位置，需要做到“唯一确定”。只有当旋转中心、旋转方向和旋转角度的大小都确定后，图形的旋转才能做到“唯一确定”。,如何让学生认识“三要素”,思考：如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图形能唯一确定吗？为了激发学生的独立思考，可以让他
49、们进行如下活动：任意画一个ABC，（1）绕点A旋转30，得到的结果怎样？（2）分别绕点A和点B逆时针旋转30，得到的结果一样吗？（3）绕A点逆时针旋转，得到的图形有多少个？（4）给定哪些条件才能使旋转后的图形唯一确定？有人认为这样问“牵”的味道浓，你有好办法吗？,如何引导学生探究性质,假探究,宏观观念的指导,变化中的不变性就是性质；旋转的性质是旋转前后两个图形的关系，所谓“两个图形的关系”，就是它们的形状、大小关系和位置关系。研究一个数学对象的性质，要充分利用确定这个对象的要素。这些是“宏观观念”，是探究性质的指路明灯。,问题引导下的探究,1.你认为研究旋转的性质就是要研究什么？意图：使学生明
50、确研究的目标旋转前后两个图形的关系，变化中的不变性。2.具体而言就是要研究什么呢？意图：使学生明确具体的研究思路两个图形对应元素之间的关系。追问：什么关系？形状、大小和位置关系等。,3.研究中要利用哪些知识？意图：使学生明确从概念出发研究性质，利用三要素得出性质。4.观察变化前后的两个图形，你能立即得出图形旋转前后有哪些不变性？意图：从宏观到微观得出性质图形的形状、大小都不变，所以两个图形全等。,5.你觉得对应元素有哪些？它们有什么不变性？意图：使学生养成有序思考的习惯，培养他们发现性质的能力对应点、对应线段、对应角等。追问1：对应点的不变性怎么体现？（如何利用三要素？）你能证明对应线段的长度
