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1、1,第 1 章 矢量分析,主要内容：标量和矢量坐标系标量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的环流、旋度、斯托克斯定理亥姆霍兹定理,3m,4m,A,B,路程？,位移？,3,1.1 标量场与矢量场,标量:只有大小而没有方向的量.Scalar矢量:不但有大小而且有方向特征的量.Vector矢量描述有向线段、单位矢量、分量表示标量、矢量举例标量：电压、温度.矢量：作用力、场强.场:在指定的时刻，空间每一点如果可以用一个量唯一地描述，则该量函数定出了场.Field,场,5,标量场和矢量场,一、标量场 1.定义：空间某一区域内存在一标量函数u，它的值随空间的位置而定，同时可能是时间的函数：u=u（x.y
2、.z;t）。例如：温度场，势场 2.等值面：标量场中量值相等的点构成的面，称为等值面。例如：等温面，等势面。,6,标量场和矢量场,一、标量场 1.定义：空间某一区域内存在一标量函数u，它的值随空间的位置而定，同时可能是时间的函数：u=u（x.y.z;t）。例如：温度场，势场 2.等值面：标量场中量值相等的点构成的面，称为等值面。例如：等温面，等势面。3.方向性导数 对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。方向性导数：等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿l0方向的方向性导数。,7,例：温度场：,8,二、矢量场 矢量场的定义：设空间某一区域存在一矢量
3、函数，它的大 小及方向随空间位置变化（可能还是时间的函数），则称该区域存在一矢量场：例如：速度场，电场，磁场。为形象的描述矢量场，通常在矢量场中作一些曲线。使曲线上每一点的切线方向与该点相应的场矢量方向一致。该点附近曲线的疏密和该点矢量的大小成正比，这样的曲线族称为矢量场的“力线”和“场线”。我们可以通过“力线”形象的描述和分析矢量场的分布和性质。,矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。,9,10,场的重要特性,占有一个空间，客观存在可以用数学模型来描述除个别点和表面，物理状态连续,静态场：物理状态与时间无关动态场：随时间变
4、化而变化时变场,11,“电磁场”的概念,电磁学：研究电荷效应运动/静止电荷运动电荷产生电流，电流产生磁场“场”空间分布的量时变的磁场和电场是同时存在的电磁场电磁场可以产生“波”“发射/辐射”,12,1.2 矢量的运算,矢量的“和/差”计算：作图法、分量法,(2)分量法,A+B,13,2.矢量的“乘积”计算：点积、叉积,2.1 点积标量积(Scalar Product)(是标量)大小、符号：“正交”：,14,例题：证明“三角形余弦定理”,思路：(1)C长度矢量C的“模”：(2)矢量C是矢量A和B的矢量和：,15,解题：,16,2.2 矢量的叉积,叉积是矢量积(Vector Product)(是矢
5、量)O“模”：O 方向：“右手螺旋法则”O 物理含义：,17,1.,2.,3.,标量三重积 Scalar Triple Product,5.矢量三重积 Vector Triple Product,矢量叉乘的性质,18,标量三重积记忆1：“循环互换规律”记忆2：“平行六面体体积”,平行六面体“体积”“底面积”“高”,“体积”唯一性上等式成立,19,矢量与矢量场的不变性,在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的。,大小、方向是唯一的。,因此，引入多种坐标系，以方便地进行分析。,坐标系：,直角坐标系：,柱坐标系：,球坐标系：,20,直角坐标系(笛卡儿坐标系),Cartesian Coordin
6、ates,21,记忆技巧：(1)结果是矢量：(2)前一项：“正向x-y-z-x-y-z”(3)后一项：负号“反向”,22,直角坐标系中微分长度、面积、体积,微分长度,微分面积,微分体积,23,柱面坐标系,Cylindrical Coordinates,24,顶视图,25,柱面坐标系中微分长度、面积、体积,微分长度,微分面积,26,微分体积,27,球坐标系,Spherical Coordinates,28,微分长度,微分面积,微分体积,29,微分长度,30,微分面积,31,微分体积,32,1.3“三度”、“三定理”,标量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的环流、旋度、斯托克斯定理亥姆霍兹定理,
7、GradientgradDivergencedivCurlcurl,33,1.3.1 标量的“梯度”,等值面：等温线等高线,？“爬山”同样的增量情况下沿什么方向最“陡”？,数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况,梯度是表示标量最大空间增长率的大小和方向的矢量。,34,梯度是表示标量最大空间增长率的大小和方向的矢量。,Gradientgrad,标量沿其他方向的变化率,哈密顿算符,Hamiltonian,35,不同坐标系下的表示,柱面坐标系中：,笛卡儿坐标系中：,球坐标系中：,36,如何记忆？,笛卡儿坐标系中微分长度,柱面坐标系中微分长度,37,球坐标系中微分长度,38,例 题,已知：,求：
8、,令：,法一：直接法求坐标系梯度公式！,39,法二：分析法找规律！,利用笛卡儿坐标系！,40,答案1,答案2,都 对!,41,1.3.2 矢量的“通量”和“散度”,矢量沿某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。,通量(Flux),42,散 度,散度定义：单位体积的净流散通量,Divergencediv,散度表示 有向场中任一点处 通过包围该点的单位体积之表面的 通量。,43,柱面坐标系中：,笛卡儿坐标系中：,球坐标系中：,不同坐标系下的散度表示,44,需要记住在笛卡儿坐标系中：,45,散度定理,散度定理：矢量场散度的体积分 该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量,也叫“高斯定理”,Gausss
9、 Law,46,1.3.3 矢量的环流和旋度,矢量的环流：该矢量沿有向闭合路径的线积分,矢量 沿闭合路径 的环量,47,矢量的“旋度”,旋度的定义,Curlcurl,面环流密度,方向：与闭合路径遵循右手螺旋法则大小：无限小面元，单位面积上 的净环量（环流量的面密度）,48,笛卡儿坐标系中,49,斯托克斯定理,斯托克斯定理：矢量场旋度的面积分 该矢量沿包围该表面的封闭曲线的积分,Stokess Law,50,梯度运算的基本公式,51,散度运算的基本公式,52,旋度运算的基本公式,53,关于“三度三定理”中的第三个定理,先看两个恒等式,(1)标量场梯度的旋度为零,保守性,(2)矢量场旋度的散度为零,p13,p11,54,亥姆霍兹定理(公理),在空间有限区域内的任一矢量场，由它的旋度、散度和边界条件唯一地确定。其中，边界条件指在该有限区域的闭合曲面上矢量场的分布。亥姆霍兹定理是研究电磁场理论的一条主线，意义非常重要。,Helmholtz Theorem,55,Gausss Law,Stokess Law,Helmholtz Theorem,微分、积分方程,小结：三个定理,矢场的基本微分方程,矢场的基本积分方程,散度方程和旋度方程,闭合面通量和闭合线环流,
