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1、腰站中学 李志祥,我参与，我快乐！,结识抛物线,猫街中学王明,函数,函数知多少,变量之间的关系,一次函数y=kx+b(k0),反比例函数,二次函数,正比例函数y=kx(k0),回顾：,yax2+bx+c（a0）,定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).,二次函数,y=ax(a0),我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，并研究了它们各自的图象特征
2、 知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线 上节课我们学习了二次函数的一般形式为yax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?,绚丽的天边彩虹,水中欢跳的海豚,空中绽放的烟花,x,y,第二章 二次函数,2、结识抛物线,1、经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。2、能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。3、能够作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与
3、图象之间的联系。,学习目标,数形结合,直观感受,在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,你会画二次函数y=x2的图象吗?,函数图象画法,列表,描点,连线,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,描点法,用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结,注意：列表时自变量取值要均匀和对称。,观察图象,回答问题,1、你能描述图象的形状吗?,2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,4、当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,3、当x0呢?,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是
4、什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,探究一：,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.(parabola),1、你能描述图象的形状吗?,0,图象与x的交点,交点坐标是(0，0),2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,0,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.,3、当x0呢?,0,4、当 x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.,0,5、图象是轴对称图形吗？如果
5、是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,y轴就 是它的对称轴.,y=x2的图象有最低点，在yx2中，y有最小值，即x时，y最小；,图象与对称轴y轴有交点，坐标即为顶点坐标（0,0）,0,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线的顶点：,0,（1）抛物线的开口向（2）它是轴对称图形，对称轴是（3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为，同时也是图象的最 点，坐标为（4）因为图象有最 点，所以函数有最 值，当x=0时，y最小=0（5）在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随着x 的
6、增大而,合作交流，探究新知,抛物线y=x2 的性质,上,y轴,抛物线的顶点,低,（0，0）,低,小,减小,增大,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-5,-4,-3,-2,1,-1,描点,y=-x2,连线,作函数y=-x2的图象,观察图象,回答问题,1、你能描述图象的形状吗?,2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,4、当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？,y=-x2,3、当x0呢?,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,探究二：,二次
7、函数y=-x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.,1、你能描述图象的形状吗?,0,y,2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,图象与x轴的交点,交点坐标为（0,0）,0,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.,y,3、当x0呢?,0,y,x,4、当 x 取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？,当x=0时,函数 y 的值最大,最大值是0.,0,y,y=-x2,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称
8、点,并与同伴交流.,y=-x2的图象有最高点，在y-x2中，y有最大值，即x=时，y最大=,y轴就 是它的对称轴.,图象与对称轴y轴有交点，坐标即为顶点坐标（0,0）,0,（1）抛物线的开口向（2）它是轴对称图形，对称轴是（3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的 交点，称为抛物线的，同时也是图象的最 点，坐标为.（4）因为图象有最高点，所以函数有最 值，当x=0时，y最大=0（5）在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随着x 的增大而.,合作交流，探究新知,（0，0）,下,y 轴,顶点,高,大,增大,减 小,抛物线y=-x2 的性质,图象都是抛物线；,图象都与x轴交于点
9、（,）；,图象都关于y轴对称,相同点：,1、函数y=x2和y=-x2的图象与性质的异同点,顶点坐标是（0，0）,本 课 小 结,0,抛物线,开口方向,增减性,最值,y=x2,y=-x2,向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,x0,y随着x的增大而减小.x0,y随着x的增大而增大.,x0,y随着x的增大而增大.x0,y随着x的增大而减小.,不同点：,联系：,关于 x 轴对称.,位置,除原点外，x轴的上方,除原点外，x轴的下方,2、本节课你有哪些收获？有何感想？,我有哪些收获？,作函数图象，并利用图象研究其函数的性质。,学会了,明白了,二次函数y=x2与 y=-x2的形状
10、、开口方向、顶点坐标、对称轴、及增减性。,懂得了,合作交流的重要性，并且体会到了一种精神：就是要勇于暴露自己的思想。,本 课 小 结,P44 习题2.2知识技能 2、3,作 业,祝老师们：身体健康 工作顺利！,祝同学们：天天开心 学习进步！,说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形 状?,P41 习题2.2,2设正方形的边长为a,面积为s,试作出S随a的变化而变化的图象.,轻松完成,1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。,2、当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的
11、开口向下，并且向下无限伸展。,3、当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。,二次函数y=ax2的性质,知识归纳,y=x2和y=-x2是y=ax2当a=1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的,函数y=ax2(a0)的图象和性质:,在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象,看图说话,y=x2,y=-x2,开口方向,(a=10),(a=-10),数学使人聪明,数学使人陶醉,数学的美陶冶着你、我、他.,寄语:,y=
12、x2的图象有最低点，在yx2中，y有最小值，即x时，y最小；,y=-x2的图象有最高点，在y-x2中，y有最大值，即x=时，y最大=,抛物线,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y=-x2,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,函数y=x2和y=-x2的图象的异同点,教学目标,一、教学知识点 1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解 二次
13、函数y=x2的性质 2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同二、能力训练要求 1.经历探索二次函数yx2的图象的作法和性质的过程，获得利 用图象研究函数性质的经验 2.由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养类比学习能力和求同求异思维三、情感与价值观要求 1.通过自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次 函数性质的理解 2.通过合作交流，能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解 二次函数的性质,根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着
14、x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值，当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,试一试,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方（除顶点外）,在x轴的下方（除顶点外）,向上,向下,当x=0时，最小值为0。,当x=0时，最大值为0。,二次函数y=x2的性质,、顶点坐标与对称轴,、位置与开口方向,、增减性与极值,动画演示,课堂,观察图象,回
15、答问题,1、你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,3、当x0呢？,4、当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,探究一：,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.,4、当x取什么值时,y的值
16、最小?最小值是什么？你是如何知道的？,这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,y=-x2的图象有最高点，在y-x2中，y有最大值，即x=时，y最大=,y轴就 是它的
17、对称轴.,图象与对称轴y轴有交点，坐标即为顶点坐标（0,0）,在学中做在做中学,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,你能根据表格中的数据作出猜想吗?,(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,做一做,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-5,-4,-3,-2,1,-1,y=-x2,观察图象,回答问题,1、你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,2、图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,3、当x0呢？,4、当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称
18、轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,探究二：,这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,y,5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.,抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.,y=-x2的图象有最高点，在y-x2中，y有最大值，即x=时，y最大=,当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。,结识抛物线,
