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1、第十三章 函数列与函数项级数,一、点态收敛的概念二、一致收敛性及其判别法三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质,1 一致收敛性,一、函数列与函数项级数二、函数列一致收敛性三、函数项级数一致收敛性,一、函数列与函数项级数的的概念,1.函数列的定义:,收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数；,试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。,(1)定义1,(2)定义2,(3)定义3,(4)定义4,例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数,解,显然,解,显然,问题：,是不是所有的连续函数列的极限函数在其收敛域上也连续。,？,结论是：不一定,因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。,(1)定义5,称为E上
2、的函数项无穷级数或简称为级数。,部分和实际是一个函数列.,同时称,2.函数项级数的概念,对其各项依次用“+”连接起来的表达式,记为,部分和.,特别地,(2)定义6,(3)定义7,(4)定义8,余项,可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.,例2 试求下列级数的收敛域与和函数,解,解,收敛域,问题：(1)函数项级数的收敛域与和函数；(2)和函数的分析性质。,对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可导,有很好的运算法则.,对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可导？,由上例(2)知,进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。,结论：即使和函数可积，求和函数的积分
3、时也不能先 对每个函数积分后，再和.,为此引进一致收敛的概念,二、函数列的一致收敛,回顾：,1 定义9,命题：,则,由定义显然可得.,(2)反之不真.,例3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性,解,解,2.几何意义,x,o,y,x0,f(x0),的几何意义呢？,3.函数列一致收敛的判别法,(1)Cauchy准则,定理1,证,3.函数列一致收敛的判别法,(1)Cauchy准则,定理1,虽然Cauchy准则，较用定义判别改进一步，应用时往往也需要较复杂的技巧，操作上不理想的弱点。,(2)上确界判别法,定理2,证,(2)上确界判别法,定理2,证,此判别法涉及上确界的求法。,当然也可以适当放大，
4、如下所述：,例3 求下列函数列的收敛域，并讨论一致收敛性,解,进一步考察一致收敛,也可以利用一致收敛的定义验证.,解,进一步考察一致收敛,内闭一致收敛,完全与一致连续性质相似,例4 证明,证,三、函数项级数的一致收敛,函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质，收敛仅仅是局部性质。,下面介绍函数项级数的一致收敛性.,1 定义10,函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛.,由前讨论可得：,以上方法只有在级数的部分和函数列能求得时可用，然而有时求部分和函数列非常困难.,2 函数项级数一致收敛的判别方法,(1)必要条件,定理3,事实上,(2)优级数法Weierstrass法,定理4,此法类似于正项级数的比较法，将一致收敛转化为寻找一个收敛的正项级数,称为M-审敛法.,证,由柯西收敛准则即得,例5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性,解,解,一致收敛,例5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性,一致收敛,一致收敛,类似于数项级数，有方法可以判别形如,定理5,(3)阿贝尔判别法,定理6,(4)狄利克雷判别法,例6 讨论下列函数项级数在给定区间上的一致收敛性,解,由狄利克雷判别法,例6 讨论下列函数项级数在给定区间上的一致收敛性,解,由阿贝尔判别法,
