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1、第十三章函数列与函数项级数,1 一致收敛性,设,是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列，简记为 fn 或 fn,n=1,2,.设 x0 E,将 x0 代入上述函数列，可得数列,一、函数列及其一致收敛性,若此数列收敛，则称 x0 为函数列(1)的收敛点，若此数列发散，则称函数列(1)在 x0 发散,使函数列(1)收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列(1)的收敛域若函数列(1)在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数列(1)在数集 D 上收敛记极限函数为 f,则有,此极限的 N 的定义是：对任何 xD,任给的 0,存在 N 0,使得当 n N 时，总有|fn(x)f(x)|
2、其中 N 既与有关也与 x 有关,对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即连续性、可微性、可积性为此讨论函数列的一致收敛性 定义 1 设函数列 fn 与函数 f 都在数集 D 上有定义,若对任给的 0,存在 N 0,使得当 n N 时，对任何 xD,都有|fn(x)f(x)|则称 fn 在 D 上一致收敛于 f，记为,若函数列 fn 在 D 上一致收敛，则必在 D 上每一点都收敛，反之，不一定成立 例2 证明函数列,在(,+)上一致收敛,证,对任给的 0,取 N=1/,当 n N 时，,对任何 x(,+),都有,所以函数列,在(,+)上一致收敛
3、于 0,函数列 fn 在 D 上不一致收敛于 f 的定义：若存在0 0,对任何 N 0,都存在 n0 N，且存在 x0D,使得|fn0(x0)f(x0)|0则称 fn 在 D 上不一致收敛于 f,例 证明函数列 xn 在(0,1)上不一致收敛于 0,证,取,对任何正整数 N，,当 n N 时，,取,则有,所以 xn 在(0,1)上不一致收敛于 0,定理 13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列 fn 在 D 上一致收敛于 f 的充要条件是：对任给的 0,存在 N 0,使得当 n,m N 时，对任何 xD,都有|fn(x)fm(x)|,定理 13.2 函数列 fn 在 D 上一致收敛于 f 的
4、充要条件是：,设 un(x)是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式,二、函数项级数及其一致收敛性,称为定义在 E 上的函数项级数，简记为,或,称,为函数项级数(9)的部分和函数列,若 x0 E 时，数项级数,收敛，则称 x0 为函数项级数(9)的收敛点，若此级数发散，则称函数项级数(9)在 x0 发散函数项级数(9)在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数项级数(9)在 D 上收敛级数(9)全体收敛点构成的集合 D 称为级数(9)的收敛域级数(9)在收敛域 D 上的和 S(x)称为级数(9)的和函数记为,即,函数项级数(9)的一致收敛性定义如下：定义 2 设 Sn(x)是函数项级数un(x)的
5、部分和函数列 若 Sn(x)在数集 D 上一致收敛于函数 S(x)，则称函数项级数un(x)在数集 D 上一致收敛于函数 S(x)，或称un(x)在 D 上一致收敛由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理可推出相应的函数项级数的定理：,定理 13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数un(x)在 D 上一致收敛的充要条件是：对任给的 0,存在 N 0,使得当 m n N 时，对任何 xD,都有|Sm(x)Sn(x)|或,推论 函数项级数un(x)在 D 上一致收敛的必要条件是：函数列 un(x)在 D 上一致收敛于零,设函数项级数un(x)在
6、D 上的和函数为 S(x),称 Rn(x)=S(x)Sn(x)为函数项级数un(x)的余项,定理 13.4 函数项级数un(x)在 D 上一致收敛于 S(x)的充要条件是,例 4 函数项级数,的收敛域为(-1,1)，其和函数为,级数在-a,a(a 1)上一致收敛于,而在(-1,1)上不一致收敛于,证,级数的部分和函数为,由此可得级数xn 在-a,a 上一致收敛,但在(-1,1)上,由此可知级数xn 在(-1,1)上不一致收敛,定理 13.5（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数un(x)定义在数集 D 上，若对一切 xD，有|un(x)|Mn,n=1,2,.且正项级数 Mn 收敛，则函数项级数un
7、(x)在数集 D 上一致收敛此判别法也称为 M 判别法或优级数判别法称级数Mn 为级数un(x)的优级数,三、函数项级数的一致收敛性判别法,例 5 函数项级数,在(-,+)上一致收敛,定理 13.6（阿贝尔判别法）设 un(x)在区间 I 上一致收敛；对每一个 xI，vn(x)是单调的；vn(x)在 I 上一致有界，即存在 M 0,使得对任何 xI，|vn(x)|M,n=1,2,.则函数项级数un(x)vn(x)在数集 I 上一致收敛,定理 13.7（狄利克雷判别法）设,un(x)的部分和函数列,在 I 上一致有界；对每一个 xI，Un(x)是单调的；vn(x)在 I 上一致收敛于 0，则函数项级数un(x)vn(x)在数集 I 上一致收敛,
