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1、4.4 奈奎斯特稳定判据,前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程上采用系统的频率特性等实验数据来分析、设计系统。1932年，美国Bell实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这种方法是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳定性，称为奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，或称为映射定理。,4.4.1 幅角原理 设为一单值复变函数，其零极点图如图4.5(a)所示。在S平面上取一封闭曲线，记为，要求 不通过F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点和P个极点。记 在F平面上的映射为，因为F(s)为一单值复变函
2、数，所以，是惟一的，也是一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。,幅角原理：若 包围了F(s)的Z个零点和P个极点，当s顺时针沿 取值时，绕F平面的原点的圈数N为：N=Z-P(4.67)其中 的参考方向为顺时针方向,即当 顺时针绕F平面的原点|N|圈时，N0;当 逆时针绕平面的原点|N|圈时，N0；当 不绕平面的原点时，N=0。,4.4.2 奈奎斯特稳定判据 判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征方程在右半平面有没有极点。下面将幅角原理应用于稳定性分析。为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几项工作。1）取F(s)=1+G(s)H(s)：当G(s)与H(s)没有零、极点对消时，F(s)的
3、零点就是系统的全部闭环极点或特征根，F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、极点对消时，F(s)的零点加上对消掉的开环极点，就是系统的全部闭环极点。下面先讨论G(s)与H(s)没有零、极点对消的情况，导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明G(s)与H(s)有零、极点对消时的处理方法。,2）选择 包围整个右半S平面：选择包围整个右半S平面,如图4.6（a）所示,称为奈氏路径.因为 不能通过F(s)的任一零点和极点，所以，当开环传递函数G(s)H(s)在原点存在极点时，选择奈氏路径如图4.6（b）所示。根据幅角原理，若 包 围了F(s)的P个极点，即 P有个开环极点在右半平
4、 面，绕平面的原点圈，则系统有Z个闭环极点在 右半S平面:Z=N+P(4.68),3)F(s)平面变换到G(s)H(s)平面:F(s)=1+G(s)H(s),将F(s)平面的虚轴向右平移1个单位,就是G(s)H(s)平面,绕 F平面的原点N圈等价于 绕G(s)H(s)平面的（-1，j0）点N圈。因此，可以得到下列结论：若 包围了F(s)的P个极点，即有P个开环极点在右半S平面，绕G(s)H(s)平面的（-1，j0）点N圈，则系统有Z=N+p个闭环极点在右半S平面。4）G(s)H(s)平面变换到 平面：因为系统的开环频率特性一般可以由实验得到.,下面考察 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上
5、的映射,从而可以看出 在虚轴上的部分映射到G(s)H(s)平面上就是开环频率特性。的无穷大半圆上的点可以表达为:(4.69)则无穷大半圆部分在平面上的映射为:(4.70),上式表明，的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映射为G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这一点与频率特性 在 的映射重合。因此 在平面G(s)H(s)上的映射，就是.当开环传递函数G(s)H(s)在原点存在极点时，则取图4.6（b）所示奈氏路径，这时奈氏曲线应再加上小半圆的映射。关于小半圆的映射，在后面的例题中再具体讨论。,奎斯特稳定判据：设系统有个P开环极点在右半S平面，当 从 变到 时，若奈氏曲线绕 平
6、面的（-1，j0）点N圈（参考方向为顺时针）,则系统有Z=N+P个闭环极点在右半S平面.当Z=0时奈氏曲线逆时针绕 平面的（-1，j0）点P圈，系统稳定。当奈氏曲线穿过（-1，j0）点时，系统临界稳定。,应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕 平面的（-1，j0）点的圈数N，在右半S平面的开环极点数P以及在右半S平面的闭环极点数Z=N+P。1）确定P：开环传递函数在右半S平面 的极点数P是容易看出的。对于最小相位系统，P=0。,2）确定N的方法:为了确定N,将奈氏曲线从 平面的下半部穿过负实轴的 段,到 平面 的上半部1次,定义为1次正穿越;反之奈氏曲
7、线从 平面 的上半部穿过负实轴的 段,到平面 的下半部1次,定义为1次 负穿越,如图4.7所示。,若奈氏曲线正穿越 次，负穿越 次，则奈氏曲线绕 平面的（-1，j0）点的圈数为：（4.71）3）奈氏曲线的画法：因为奈氏曲线的精确形状，对于N值的确定并不重要，所以，只要根据一些特征画出奈氏曲线的大致形状即可。事实上，要在的范围内精确画出奈氏曲线也是不可能的，因为通常有，显然不可能画无穷大的坐标图。,为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的下列特征：的映射；的映射；奈氏曲线与实轴的交点；根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线，然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线。奈氏路径中小半圆的映射。
8、,小半圆上的点可以表示为:(4.72)其中，。对于最小相位系统，有(4.73),可见,奈氏路径中小半圆的映射的幅值为，当 从 变化到 时，其相角相应地从 变化到。对于非最小相位系统，则增加或者减少 的整倍数。一般说来，无论是最小相位系统，还是非最小相位系统，当系统开环传递函数有v个s=0的极点时，奈氏路径中小半圆的映射是半径为无穷大的圆弧,从 的映射点开始，顺时针转过，到 的映射点结束。,4.4.3 举例 例4.23 已知系统的开环传递函数为:用奈氏判据判别系统稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点没有极点，所以选择奈氏路径如图4.6(a）所示。系统的频率特性为:,则 容易看出，当 时，,
9、所以，这部分奈氏曲线总在实轴下方，与负实轴不相交（和 除外）。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图4.8所示。因为，又P=0，所以Z=N+P=0，因此，该系统是稳定的。,例4.24 已知系统的开环传递函数为:用奈氏判据判别系统稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，所以选择奈氏路径如图4.6(b）所示。系统的频率特性为:,则 奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数形式：令 得,解得奈氏曲线与实轴交点处的频率:奈氏曲线与实轴交点坐标:根据上面的分析以及对称性,可以画出系统的奈氏曲线中对应 和 的部分，如图4.9所示。奈氏路径中小半圆的映射：因为v=1，所以,小半圆的
10、映射是从 的映射点开始，顺时针转过，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。,因为开环传递函数在右半S平面没有极点，所以P=0。奈氏曲线绕（-1，j0）点圈数与交点坐标有关。当 时,奈氏曲线不包围(-1,j0)点，如图4.9（a）所示，系统是稳定的。当 时,奈氏曲线包围(-1,j0)点，如图4.9（b）所示。,所以系统是不稳定的，有2个闭环极点在右半S平面。当 时，奈氏曲线穿越(-1,j0)点，如图4.9（c）所示，所以，系统是临界稳定的。,例4.25 已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，所以选择奈氏路径如图（4.6b）所示。系统的频率特性为
11、:,下面分几种情况讨论。:其中，是趋于0的正角度.由于当 时，所以这部分奈氏曲线总在实轴下方,与负实轴不相（和 除外）。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图（4.10a）所示。,奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点开 始，顺时针转过，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。因为开环传递函数在右半S平面没有极点，所以P=0。奈氏曲线不包围（-1，j0）点，所以，系统是稳定的。:奈氏曲线图4.10（b）。因为，所以，系统是不稳定的，有两个闭环极点在右半S平面。,:这时，系统的传递函数为:频率特性为:奈氏曲线如图4.10（c）所示。因为奈氏曲线穿越(-1,j0)点，所以，系统临界稳定。,例4
12、.26 已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，所以选择奈氏路径如图（4.6b）所示。系统的频率特性为:,由于当 时，所以，这部分奈氏曲线总在第一象限。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图4.11所示。,奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点开始,顺时针转过，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。因为开环传递函数在右半S平面没有极点，所以P=0.因为，,所以，系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。,例4.27 已知非最小相位系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，所以选择奈氏路
13、径如图4.6（b）所示。系统的频率特性为:,令，得奈氏曲线与实轴交点处的频率为。奈氏曲线与实轴交点坐标为。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图4.12所示。,奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点开始，顺时针转过，到 的映射点的半径为无穷大的圆弧。因为开环传递函数在右半S平面有1个极点，所以P=1。当k1时，,，系统是稳定的。当k1时，,，系统是不稳定的，有两个闭环极点在右半S平面。当k=0时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定的。,上面讨论的都是假设G(s)与H(s)没有零、极点对消的情况。由于奈奎斯特稳定判据是基于系统的开环传递函数来分析系统稳定性的，所以，当G(s)与H(s)存
14、在零、极点对消时，如果直接应用奈氏判据分析系统的稳定性，可能会得到错误的结果。下面用一个例子说明G(s)与H(s)有零、极点对消时的处理方法。,例4.28 控制系统如图4.13所示，用奈氏判据判别系统稳定性。解 在该系统中，系统的开环传递函数为:,由奈氏稳定判据或者其它判据，很容易判别该系统是稳定的。但实际上，系统的闭环传递函数为:可见，系统在右半S平面的闭环极点，一部分由开环传递函数 决定，另一部分是对消掉的不稳定的开环极点s=1，所以，系统有1个不稳定的闭环极点。,因此，当G(s)与H(s)存在零、极点对消时,先根据开环传递函数,用奈氏稳定判据得到在右半S平面的闭环极点数,然后再加上对消掉
15、的不稳定的开环极点数，就得到系统在右半S平面的闭环极点的总数。,4.4.4 相对稳定性分析,前面介绍的稳定判据是分析系统是否稳定，称为绝对稳定性分析。对于实际的控制系统，不仅要求稳定，而且要求具有一定的稳定裕度。确定系统的稳定裕度，称为相对稳定性分析。在奈氏图上，不仅可以分析系统的绝对稳定性，即判别系统是否稳定，而且能分析系统的相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。如何度量系统的稳定程度？由奈氏判据可知，位于临界点附近的开环幅相曲线即奈氏曲线，对系统的稳定性影响最大。奈氏曲线越是接近临界点(-1,j0)，系统的稳定程度越差。因此，可以将奈氏曲线与临界点的距离，作为相对稳定性的度量。通常用相角裕度
16、和幅值裕度 或 两个值，度量奈氏曲线与临界点的距离。,下面首先定义相位穿越频率和增益穿越频率。使开环频率特性的相角为 的频率，称为相位穿越频率，即(4.74)使开环频率特性的幅值为1，或者为0db的频率，称为增益穿越频率或者截止频率，即(4.75),相角裕度 和幅值裕度 或 定义如下。(4.77)(4.78)或者(4.79)相角裕度 和幅值裕度 的几何意义如图4.14所示。,对于最小相位系统，相角裕度 和幅值裕度 的符号是一致的。当，系统稳定；当，系统不稳定。但对于非最小相位系统，相角裕度 和幅值裕度 的符号可能是不一致的。相角裕度和幅值裕度的符号一般是没有太大意义的,不能用来判别系统稳定性.
17、稳定系统 和 表示了系统稳定的程度，它们的值越大，系统越稳定。对于不稳定系统，和 表示了系统不稳定的程度，它们的值越大，系统越不稳定。,例4.29 控制系统的开环传递函数为 试分析系统的绝对稳定性和相对稳定性。解 由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，所以选择奈氏路径如图4.6（b）所示。系统的频率特性为:,令，即:得奈氏曲线与实轴交点处的频率为:奈氏曲线与实轴交点坐标为:根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图4.15所示。,奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点开始，顺时针转过，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。因为开环传递函数在右半S平面有1个极点，所以P=1。当 时，,系统是
18、稳定的。当 时，系统是不稳定的，有2个闭环极点在右半S平面。当 时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定的。,下面分析系统的相对稳定性。由 得:前面已经求出:则:,虽然在奈氏图上表示控制系统的相角裕度和幅值裕度是很直观的，但是因为奈氏曲线只是大概的轮廓，所以要在奈氏图上直接量取相角裕度和幅值裕度显然是不行的。由于奈氏图和伯德图有一个简单的对应关系，所以，在伯德图上相角裕度和幅值裕度如图4.16所示。由于伯德图是比较精确的，所以，可以在伯德图上量取相角裕度和幅值裕度。,系统开环对数幅频特性的中频段的宽度和斜率与系统的稳定性有密切的关系。根据伯德定理，若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-20db/dec，则系统是稳定的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-60db/dec，则系统是不稳定的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-40db/dec，则系统可能是稳定的，也可能是不稳定的，即使稳定，其稳定裕度也较小。,
