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1、1,第六章 控制系统的稳定性分析,控制系统能实际应用的首要条件系统稳定。判别系统稳定性的准则系统的稳定性判据。,劳斯判据:依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，是一种代数判据。,奈奎斯特判据:依据系统的开环极坐标图与（1，0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，是一种几何判据。,波德判据:是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。,2,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,第一节 控制系统稳定性的基本概念,3,1940年11月7日，在一阵每小时42英里的“和风”吹拂下坍塌了。彩色图为1949年重建的塔科马。,4
2、,一稳定性概念,控制系统的稳定性：系统在给定信号作用下，输出应能达到新的平衡状态；在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。,曲线1：系统经过衰减振荡后趋于稳定曲线2：系统达到一定的峰值后趋于稳定,5,控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。,若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的持续振荡，这样的系统就是不稳定的。,1等幅振荡,2发散振荡,6,系统的稳定性：系统存在干扰，干扰信号为脉冲信号。,系统1：衰减振荡，系统稳定；系统2：等幅振荡，系统处于临界状态；系统3：发散振荡，系统不稳定。,7,稳定平衡点
3、a：作用在小球上的有限干扰力消失以后，小球总能回到a点；不稳定平衡点b：只要有干扰力作用于小球，小球就不会再回到这点；若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。,小球的稳定性,8,二系统稳定的条件,即：,9,撤除扰动：,根据齐次微分方程的有关定义知道，该齐次微分方程的特征方程和解的一般形式为：,即：,cn为由初始条件决定的积分常数，sn为特征方程的根。,10,(2)可改写成：,由(3)、(4)可知，若si、i都是负的，则当t 时，y(t)0。这说明控制系统的特征方程式的根是负实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定
4、的。,如果(1)中有k个实根，2r个复根，则(1)可改写成：,11,线性定常系统稳定的充要条件（三种说法）：,对于闭环传递函数的特征根来说，下述四个条件缺一不可：没有零根；没有共轭纯虚根：Re(s)=0，系统等幅振荡；所有实根都是负的；共轭复根具有负实部。,该系统闭环传递函数特征方程的所有根必须是负实数或具有负实部的共轭复根。,该系统全部极点必须位于复平面的左半部分。,12,例：某单位负反馈系统的开环传递函数为：其中T、K均大于零，且,则系统的 闭环传递函数：,特征方程式为：特征根为：,因为特征方程根具有负实部，所以该闭环系统稳定。,13,第二节劳斯稳定判据,判别系统是否稳定，就是要确定系统特
5、征方程的根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全部位于s平面的虚轴左侧。有两种判别方法：,解特征方程确定特征根，对于高阶系统来说是困难的；,讨论根的分布，研究特征方程的根是否包含右根及有几个右根。（逆向思维）,劳斯稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。,14,设系统的特征方程式为：,则系统稳定的必要条件是：1.特征方程的各项系数 均不为零。2.特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。,劳斯稳定判据的必要条件,15,特征方程系数的劳斯阵列：,劳斯稳定判据的充要条件,设系
6、统的特征方程式为：,S的偶次项(或奇次项)系数，且按S的降幂排列。,S的奇次项(或偶次项)系数，且按S的降幂排列。,根据上两列的数据计算得到。,16,其它系数的计算：,由上两行产生新的一行。可以得到一个（n+1）行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。,17,劳斯稳定判据的充要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变的次数就是特征方程中所包含的右根数目。,把an，an-1，b1，c1，d1，e1 称为劳斯阵列中的第一列元素。,18,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：闭环系统的特征方程式为：,例6-1 某
7、一系统的闭环传递函数为：,由于第一列所有元素都为正，因而系统稳定。,特征方程式的系数均为正，进一步使用劳斯判据进行判断。,19,例6-2 单位负反馈控制系统的开环传递函数为：,试确定K值的闭环稳定范围。,解：该单位负反馈系统的闭环传递函数为：,特征方程式为：,闭环系统要想稳定，首先特征方程式的系数均要为大于零的正数，即K0，然后进一步使用劳斯判据进行判断。,20,由稳定条件得：,做题心得使用劳斯判据的时候，使用的一定是系统的闭环传递函数的特征方程。,劳斯阵列为：,21,例6-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为:若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问K值应取在什么范围？如果要求根的实部均
8、小于-2，情况又如何？,我们需要做的工作：,开环闭环，列出其特征方程；实部小于1：首先系统要稳定，即实部小于0，其次才是实部小于1；列写劳斯阵列。,22,解：系统的闭环传递函数为：,系统的特征方程式为：s3+9s2+18s+18K=0,令u=s+1得如下u 特征方程：,由于要求特征方程式的系数均为大于零的正数，所以首先要求18K-100。进一步使用劳斯判据：,23,因为特征方程的系数的符号有正有负，所以由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2。,令u=s+2得如下u 特征方程：,劳斯阵列为：,24,例 6-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函 数分别是：试用劳斯判据分析
9、k分别为6、15时系 统的稳定性。从上述计算中，你能得 出什么结论？,25,(1)解：,由此可知，比例放大系数的取值范围对系统的稳定性有影响。,26,(2)解：,故 时不在(-1，0)范围内，这时系统不稳定。,27,劳斯判据的特殊情况,例6-5 设有特征方程为：试判断系统的稳定性。,某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况,如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零，则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数 来代替零元素，然后继续进行计算。,28,劳斯阵列：,此时第三行第一列元素为零，用一无限小 代替0，然后计算其余各项，得到
10、劳斯阵列如上。,解：,观察第一列各项数值，当 0时，则:,29,由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变化，即特征方程在s平面的右半平面内有两个根，该闭环系统是不稳定系统。,30,某行全部元素值为零的情况,这说明在系统的特征根中存在对称的根：,存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定）；,31,存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）；,以上几种根的组合。,存在一对共轭纯虚根（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；,32,在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断；为了写出下面各行，可将该行的上一行的各
11、项组成“辅助方程式”；辅助方程式中s 的方次均为偶次降；方程式对s 求导，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数；然后继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余下各行直至计算完（n+1）行为止。,这些大小相等、符号相反的特征根可由辅助方程得到。,解决办法：,33,例6-6 设某一系统的特征方程式为：,试判断系统的稳定性。,解：特征方程各系数为正，劳斯阵列表如下：,该行系数全为零。,使用该行写出一个辅助方程式，s的最高次数就是系统虚根的个数。,34,取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为：,将A(s)对s求导得：,以上式的系数代替全部为零的一行，然后继续作出劳斯阵列表为：,35,从劳斯阵列表的
12、第一列可以看出，各项并无符号变化，因此特征方程无正根和实部为正的共轭复根。但因s3行出现全为零的情况，可见必有共轭纯虚根存在，通过求解辅助方程A(s)可以得到系统的两对共轭虚根为：,这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态（不稳定状态），等幅振荡。,36,例6-7 系统的传递函数方框图如图所示。试确定K和a取何值时，系统将维持以角频率=2s-1持续振荡。,37,解：由已知，系统一定存在一对共轭纯虚根 s1,2=2j。由框图得，系统特征方程为：s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出劳斯阵列如下：,分析：,系统持续振荡,系统存在共轭纯虚根,角频率=2s-1
13、,共扼纯虚根的形式：s1,2=2 j,传递函数方框图,闭环传递函数以及特征方程,38,当劳斯阵列中S1 行的元素全为0时，该特征方程才会有一对共轭纯虚根（因为只有当S1 行的元素全为0时，使用S2行的作为辅助方程，求出的才是一对共轭纯虚根）：,39,40,例6-8 设闭环系统特征方程如下，试确定有几 个根在右半s平面。,(1)解：,第一列元素符号变化2次，在s右半平面有2个根，系统不稳定。,41,取全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程：,(2)解：,42,第一列系数元素符号变化1次，在s右半平面有1个根，系统不稳定。（另外，通过解辅助特征方程可知，系统还有两个位于虚轴上的根s1,2=j和两个
14、绝对值相等的位于实轴上的根s3,4=2。）,43,奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据利用系统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法，是几何判据。,第三节奈奎斯特稳定判据,奈氏判据不必求取闭环系统特征根，而是通过系统开环频率特性(j)H(j)曲线分析闭环系统稳定性。,由于系统的频率特性可以用实验方法获得，所以奈氏判据对无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。,奈氏判据能表明系统的稳定裕度，即相对稳定性，进而指出提高系统稳定性的途径。,44,如图所示的闭环系统，其传递函数为：,奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数G(s)H(s)中，令s=j，当在至范围内变化时，闭合的奈氏曲线以
15、逆时针方向绕(1，j0)点的圈数为N，设开环极点在s右半平面的个数为P，若N=P，则闭环系统是稳定的。注：N有正负，逆正顺负,45,例6-9(a)如图所示系统开环极坐标图，开环传递函数为：,由G(s)H(s)可知，开环传递函数有2个极点在s右半平面，即P=2；当频率由变化至时，以逆时针绕点(-1，j0)2圈，即N=2；N=P，所以对应的闭环系统是稳定的。,试判断其闭环系统是否稳定。,46,由G(s)H(s)可知，开环传递函数有1个极点在s右半平面，即P=1；当频率由变化至时，以顺时针绕点(-1，j0)2圈，即N=2；NP，所以对应的闭环系统是不稳定的。,例6-9(b)如图所示系统开环极坐标图，
16、开环传递函数为：,试判断其闭环系统是否稳定。,47,例6-10 4个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲线如图(a)-(d)所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数P，试判别各闭环系统的稳定性。,解：a)、b)：N=0，P=0，P=N，闭环系统稳定。c)：P=0，当从-+变化时，N=2，PN，闭环系统不稳定。d)：P=2，图中所示为从0变化，因此由图知当从-+变化时，N=2，P=N，闭环稳定。,48,注 意,开环右极点数目P：虚轴上的开环极点按左极点处理开环奈氏曲线围绕点(-1，j0)的圈数N：“穿越”,穿越：奈氏曲线穿过(-1，j0)左边的实轴(-1，-)。1次正穿越N+：奈氏曲线由上而下穿过(-
17、1，j0)左边的实轴一次；1次负穿越N-：奈氏曲线由下而上穿越一次。半次正穿越：奈氏曲线始于图a)上(-1，j0)以左的实轴，穿越数为+1/2；半次负穿越：奈氏曲线止于图b)上(-1，j0)以左的实轴，穿越数为-1/2。,49,图a)：P=1开环不稳定半次正穿越 闭环稳定 图b)：P=0开环稳定半次负穿越 闭环不稳定,50,3.当开环传递函数含有积分环节1/sN(即含有落在原点的极点)，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，难以说明在零附近变化时奈氏曲线的变化，以及它们是否包围了临界点(-1，j0)，如图中实线所示。为此，可以作辅助圆(如图中虚线所示)，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点(-1，j0)
18、。辅助圆的作法是以无穷大为半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径圆心角为N90的圆弧至 G(0+)H(0+)。,51,例6-11若系统开环传递函数为：,试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。,解:画出开环系统奈氏图，如图所示由图可知，N=1由G(s)H(s)表达式可知，P=0根据奈氏判据有：P-2N=0-2(-1)=2 综上，闭环系统不稳定。,52,对于最小相位系统来说，P=0(在s右平面没有开环极点)，因此闭环系统如若稳定，必须N=0当频率由变化到0，再由0变化到+时，所对应的奈奎斯特图是对称的，所以只取0到+时这一频率段研究即可。,最小相位系统的奈奎斯特稳定判据,对于最小相
19、位系统而言，如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：左图：开环极坐标图不包围(-1，j0)，闭环系统稳定右图：开环极坐标图包围(-1，j0)，闭环系统不稳定中图：开环极坐标图通过(-1，j0)，闭环系统临界稳定,53,稳定裕度,系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。,在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。而对于系统稳定的程度如何及是否具有满意的动态过程，劳斯判据无法确定。,由奈奎斯特稳定判据可以推知：对于开环稳定(P=0)的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点(-1，j0)越远，则闭
20、环系统的稳定性越高；曲线距点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。,54,当开环频率特性的极坐标曲线包围(-1，j0)时，对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定(图(a)；,当开环奈奎斯特曲线通过(-1，j0)时，对应闭环系统单位阶跃响应呈等幅振荡(图(b)；,当开环奈奎斯特曲线不包围(-1，j0)时，闭环系统稳定(图(c)、(d)。,55,由图(c)、(d)可见，开环奈奎斯特曲线距(-1，j0)点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也不同（图(d)较(c)的稳定性高）。这便是通常所说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示系统的相对稳定性。,56,1.稳定裕度的极坐标表示系统的相对稳
21、定性即稳定裕度用相位裕度 和幅值裕度g 来定量描述。,57,相位裕度 如图所示，以原点为圆心，以单位值为半径，做单位圆，必通过Q(-1，j0)，并与奈氏曲线交于A点，连接O、A点得OA，OA与负虚轴的夹角 称为相位裕度：,c：剪切频率或幅值穿越频率，其对应的幅值为1。,58,幅值裕度g 开环奈氏曲线与负实轴相交于Q点，该点的频率g时的幅值为|G(jg)H(jg)|，其倒数定义为幅值裕度g：,g：相位穿越频率，对应这点的频率的相角为-180。,系统稳定条件：稳定系统:0，g1；不稳定系统:0，g1。,g(dB)=(620)dB=30 60,系统的稳定程度由，g两项指标来衡量，g(dB)、越大系统
22、的稳定性越好。但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如响应的快速性等。工程上一般取：,59,稳定裕度波德图表示,幅值裕度g 的分贝值为：,60,对于闭环稳定系统，应有0，且Kg1 即Kg(dB)0。如图(a)所示。在波德图上，必在-180线以上；Kg(dB)在0dB线以下。,对于不稳定系统，有 0，Kg1即Kg(dB)0。如图(b)所示。此时，在极坐标图的负实轴以上。在波德图上，在180线以下；Kg在0dB线以上。,61,波德图判据 利用开环频率特性G(j)H(j)的波德图，也可以判别系统的稳定性，称为对数频率特性判据，简称对数判据或波德判据，实质上是奈奎斯特判据的引申。,开环波德图与开环极坐标
23、图有如下对应关系：奈奎斯特图上的单位圆相当于波德图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。因为此时：20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB,奈奎斯特上的负实轴相当于波德图上的-180线。因为此时相位 G(j)H(j)均为-180。,62,根据奈奎斯特判据和此种对应关系，波德图数判据可表述如下：,对开环稳定系统(P=0)，从0变化到+时，在L()0区间，若相频特性曲线()不穿越-180线，系统闭环系统稳定（图a），否则不稳定（图b）。,对开环不稳定系统(P0)，从0变化到+时，在L()0区间，相频特性曲线()在-180线上正负穿越次数之差为N=P/2次，则闭环系统是稳定的。,63,例6-
24、12 用波德图的稳定判据判断如图所示系统的稳定性。,解：系统(a)，根据已知条件，P=2。在L()0 dB的所有频率段内相频特性曲线对-180线的正穿越次数为1次，负穿越数为2次，故总的穿越次数为1次负穿越，N=1。所以NP/2，故闭环系统不稳定。,64,系统(b)，根据已知条件，P=2。在L()0 dB的所有频段内相频特性曲线对-180线的正穿越次数为2次，负穿越次数为1次，故总的穿越次数为1次正穿越，N=1。所以 N=P/2，故闭环系统稳定。,65,例6-13 某系统的开环传递函数为：求K=2和K=20时，系统的幅值裕度Kg(dB)和相位裕度。,解法1：由开环传递函数知，系统开环稳定。分别
25、绘制K=2和K=20时系统的Bode图，如图(a)、(b)所示。,当K=2时，Kg(dB)=8(dB)；=21 当K=20时，Kg(dB)=12(dB)，=30 显然，K=20时闭环系统不稳定。K=2时系统是稳定的。此时相位裕度较小，小于30，因此系统不具备满意的相对稳定性。,66,67,解法2：系统的开环频率特性为：,其中，幅频特性：,相频特性：,令：,有：,令：,68,或令：,有：,幅值裕度：,相位裕度：,(1)当K=2时，增益交角频率 c=1.23 相位裕度=25.3 幅值裕度 Kg=9.52dB,(2)当K=20时，增益交角频率 c=3.93 相位裕度=23.89 幅值裕度 Kg=10
26、.47,69,解法3：K=2时，由图(a)可知：,令:,有:,而幅值裕度:,K=20时，由图(b)可知:,相位裕度：,(1)当K=2时，增益交角频率 c=1.413 相位裕度=19.5 幅值裕度 Kg=9.52dB,(2)当K=20时，增益交角频率 c=4.467 相位裕度=29.2 幅值裕度 Kg=10.47,70,例6-14 某系统的开环传递函数为：计算其幅值裕度Kg(dB)和相位裕度。,解：系统的开环频率特性为：,幅频特性：,相频特性：,71,令：,有：,相位裕度：,相位穿越频率：,幅值裕度：,72,利用波德图求取相对稳定性具有下列优点：,波德图可以由渐近线的方法绘出，故比较简便易行；省去了计算c、g的繁杂过程；由于开环波德图是由各波德图迭加而成，因此在波德图上容易确定哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其参数重新加以选择或修正；在需要调整开环增益K时，只需将对数幅频特性曲线上下平移即可，这样可很容易地看出增益K取何值时才能使系统稳定。,73,基本要求了解系统稳定性的定义；了解系统稳定的条件；掌握Routh判据的必要件和充要条件，应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征根的个数。掌握奈氏稳定判据,本 章 小 结,重点及难点Routh判据特殊情况的有关计算；基于奈氏判据的稳定性判断。,
