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1、2023/1/25,近世代数,第二章 群论 7陪集、指数和Lagrange定理,2023/1/25,一、集合的积,设,为群,是群,子集,定义,若,，则,的两个非空,2023/1/25,二、陪集的引入,引例 整数加群,，模4的剩余类：,构成,的一个分类：,现利用群的观点，分析此分类的特点：,分类中存在一个特殊的类0是子群,而其余的类都不是子群.,每个类正好是这个子群乘上这个类中任取定的一个元素.i=i+0.,2023/1/25,三、子群陪集的定义,定义1 设,.称群,的子集,和,分别为,在,中的左陪集与右陪集.,思考题1 若,又设,那么“,”成立吗?为什么?,不一定是交换群,所以,未必成立.,答
2、：由于,2023/1/25,例1,在,中的全部不同的左陪集有:,2023/1/25,例1,在,中的全部不同的右陪集有:,2023/1/25,四、陪集的性质及陪集分解,左陪集的性质及左陪集分解,2）,3）,4）,1）,群,中每个元素属于且只属于一个左陪集，,可以按照其子群,的左陪集分类.,的按照其子群,的左陪集分类中除去,外，再无子群,因此群,群,存在.,2023/1/25,定义2,设,是子群,在群,中的所有不同的左陪集，称等式,为群,关于子群,的左陪集分解，而称,为群,的一个左陪集代表系.,关于子群,2023/1/25,右陪集的性质及右陪集分解,1）,2）,3）,4）,2023/1/25,五、
3、右陪集与左陪集的对应关系,定理 1设,，则群,陪集含有相同个数的元素；且,在,中,是,到,的一一映射;,是,则,是,到,映射.,的任何两个,证明,集的个数与右陪集的个数相同.,左陪,到,的一一,映射;,的一一,2023/1/25,由定理1知，,，即,是群,关于子群,的一,是群,的一个右陪集代表系.,个左陪集代表系，则,关于子群,2023/1/25,思考题2,？,（）,（）,？,2023/1/25,六、指数和Lagrange定理,定义 3称群,的子群,的不同左(右),在,中的指数.,.,陪集的个数(有限或无限)为,记作,定理 2(Lagrange定理)有限群,，,，则,.,例1中,2023/1/25,Lagrange定理证明,证明 因为,所以,也是有限群，,，且,由定理1,且,所以,2023/1/25,推论,推论1有限群子群的阶整除群的阶.,的任一元素的阶都能,推论3设群,的阶数是n,则对任意的,.,推论2 有限群,整除群的阶数.,
