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1、微分方程模型,基础科学学院 周庆欣联系方式：13904612741,本次课的主要内容,1.微分方程法建模的的适用范围2.利用微分方程建模的步骤3.常见的利用微分方程法建模的案例（1）放射性废料处理（2）传染病模型（3）最优捕鱼问题（4）战争模型,一.微分方程法建模的的适用范围,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,微分方程模型是一类重要的动
2、态模型 有人甚至认为：凡是和时间有关系的问题都可以建立微分方程模型。具体来说：种群数量模型，和物理学有关系的很多领域，如运动问题、衰变问题，和医药有关系的很多领域，如药动力学、传染病动力学等等,二、利用微分方程建模的步骤,微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。,（1）根据规律列方程,利用数学、力
3、学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,列方程常见的方法有：,（3）模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,历年数学建模竞赛可利用微分方程法建模的部分试题,1996年“高教社杯全国大学生数学建模竞赛”A题：最优捕鱼问
4、题2003年“高教社杯全国大学生数学建模竞赛”A、C题：SARS的传播2007年“高教社杯全国大学生数学建模竞赛”A题：中国人口增长预测,1 放射性废料处理模型 1.问题的提出 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90 多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少?,三、常见的利用微分方程法建模的案例
5、,已知圆桶质量为239.46 kg，体积为0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s 就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：（1）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下，v 大，k 也大；v 小，k 也小。当v 很大时，常用kv 来代替k，那么这时速度与时间关系如何?并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少?(k 的值仍设为0.6),2.模型的建立与求解,（2）问题二的模型,（3）结
6、果分析,2 传染病模型,1.问题的提出,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,描述传染病的传播过程,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt 最
7、大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数=1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线
8、的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0-1/=,随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中
9、国家，还不时出现传染病流行的情况，与次同时，一些鲜为人知的险恶传染病则跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围内蔓延。一直以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，有着重要的作用。,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,3 最优捕鱼问题,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与
10、渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,不求x(t),判断x0稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,产量模型,稳定性判断,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p
11、,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T=ph(x)=pEx,支出 S=cE,捕捞过度,封闭式捕捞追求利润R(E)最大,开放式捕捞只求利润R(E)0,R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER,临界强度下的渔场鱼量,捕捞过度,令=0,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,4 战
12、争模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t),v(t),f,g 取决于战争类型,x(t)甲方兵力，y(t)乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py,ry 射击率，py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵的杀伤率,c=ry pyry射击率py 命中率,游击战争模型,线性律 模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2),美国人曾用这个模型分析越南战争。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要想取胜必须至少投入8 倍于游击部队一方的兵力，而美国至多只能派出6 倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后的胜利。,
